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Theorem dochsncom

Description: Swap vectors in an orthocomplement of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses dochsncom.h H = LHyp K
dochsncom.o ˙ = ocH K W
dochsncom.u U = DVecH K W
dochsncom.v V = Base U
dochsncom.k φ K HL W H
dochsncom.x φ X V
dochsncom.y φ Y V
Assertion dochsncom φ X ˙ Y Y ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochsncom.h H = LHyp K
2 dochsncom.o ˙ = ocH K W
3 dochsncom.u U = DVecH K W
4 dochsncom.v V = Base U
5 dochsncom.k φ K HL W H
6 dochsncom.x φ X V
7 dochsncom.y φ Y V
8 eqid DIsoH K W = DIsoH K W
9 eqid LSpan U = LSpan U
10 1 3 4 9 8 dihlsprn K HL W H X V LSpan U X ran DIsoH K W
11 5 6 10 syl2anc φ LSpan U X ran DIsoH K W
12 1 3 4 9 8 dihlsprn K HL W H Y V LSpan U Y ran DIsoH K W
13 5 7 12 syl2anc φ LSpan U Y ran DIsoH K W
14 1 8 2 5 11 13 dochord3 φ LSpan U X ˙ LSpan U Y LSpan U Y ˙ LSpan U X
15 7 snssd φ Y V
16 1 3 2 4 9 5 15 dochocsp φ ˙ LSpan U Y = ˙ Y
17 16 sseq2d φ LSpan U X ˙ LSpan U Y LSpan U X ˙ Y
18 6 snssd φ X V
19 1 3 2 4 9 5 18 dochocsp φ ˙ LSpan U X = ˙ X
20 19 sseq2d φ LSpan U Y ˙ LSpan U X LSpan U Y ˙ X
21 14 17 20 3bitr3d φ LSpan U X ˙ Y LSpan U Y ˙ X
22 eqid LSubSp U = LSubSp U
23 1 3 5 dvhlmod φ U LMod
24 1 3 4 22 2 dochlss K HL W H Y V ˙ Y LSubSp U
25 5 15 24 syl2anc φ ˙ Y LSubSp U
26 4 22 9 23 25 6 lspsnel5 φ X ˙ Y LSpan U X ˙ Y
27 1 3 4 22 2 dochlss K HL W H X V ˙ X LSubSp U
28 5 18 27 syl2anc φ ˙ X LSubSp U
29 4 22 9 23 28 7 lspsnel5 φ Y ˙ X LSpan U Y ˙ X
30 21 26 29 3bitr4d φ X ˙ Y Y ˙ X