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Theorem omsmo

Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014)

Ref Expression
Assertion omsmo A On F : ω A x ω F x F suc x F : ω 1-1 A

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simplr A On F : ω A x ω F x F suc x F : ω A
2 omsmolem z ω A On F : ω A x ω F x F suc x y z F y F z
3 2 adantl y ω z ω A On F : ω A x ω F x F suc x y z F y F z
4 3 imp y ω z ω A On F : ω A x ω F x F suc x y z F y F z
5 omsmolem y ω A On F : ω A x ω F x F suc x z y F z F y
6 5 adantr y ω z ω A On F : ω A x ω F x F suc x z y F z F y
7 6 imp y ω z ω A On F : ω A x ω F x F suc x z y F z F y
8 4 7 orim12d y ω z ω A On F : ω A x ω F x F suc x y z z y F y F z F z F y
9 8 ancoms A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω y z z y F y F z F z F y
10 9 con3d A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω ¬ F y F z F z F y ¬ y z z y
11 ffvelrn F : ω A y ω F y A
12 ssel A On F y A F y On
13 11 12 syl5 A On F : ω A y ω F y On
14 13 expdimp A On F : ω A y ω F y On
15 eloni F y On Ord F y
16 14 15 syl6 A On F : ω A y ω Ord F y
17 ffvelrn F : ω A z ω F z A
18 ssel A On F z A F z On
19 17 18 syl5 A On F : ω A z ω F z On
20 19 expdimp A On F : ω A z ω F z On
21 eloni F z On Ord F z
22 20 21 syl6 A On F : ω A z ω Ord F z
23 16 22 anim12d A On F : ω A y ω z ω Ord F y Ord F z
24 23 imp A On F : ω A y ω z ω Ord F y Ord F z
25 ordtri3 Ord F y Ord F z F y = F z ¬ F y F z F z F y
26 24 25 syl A On F : ω A y ω z ω F y = F z ¬ F y F z F z F y
27 26 adantlr A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω F y = F z ¬ F y F z F z F y
28 nnord y ω Ord y
29 nnord z ω Ord z
30 ordtri3 Ord y Ord z y = z ¬ y z z y
31 28 29 30 syl2an y ω z ω y = z ¬ y z z y
32 31 adantl A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω y = z ¬ y z z y
33 10 27 32 3imtr4d A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω F y = F z y = z
34 33 ralrimivva A On F : ω A x ω F x F suc x y ω z ω F y = F z y = z
35 dff13 F : ω 1-1 A F : ω A y ω z ω F y = F z y = z
36 1 34 35 sylanbrc A On F : ω A x ω F x F suc x F : ω 1-1 A