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Theorem prjspersym

Description: The relation in PrjSp is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023)

Ref Expression
Hypotheses prjsprel.1 ˙ = x y | x B y B l K x = l · ˙ y
prjspertr.b B = Base V 0 V
prjspertr.s S = Scalar V
prjspertr.x · ˙ = V
prjspertr.k K = Base S
Assertion prjspersym V LVec X ˙ Y Y ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 prjsprel.1 ˙ = x y | x B y B l K x = l · ˙ y
2 prjspertr.b B = Base V 0 V
3 prjspertr.s S = Scalar V
4 prjspertr.x · ˙ = V
5 prjspertr.k K = Base S
6 simpllr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y X ˙ Y
7 1 prjsprel X ˙ Y X B Y B m K X = m · ˙ Y
8 pm3.22 X B Y B Y B X B
9 8 adantr X B Y B m K X = m · ˙ Y Y B X B
10 7 9 sylbi X ˙ Y Y B X B
11 6 10 syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y Y B X B
12 simplll V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y V LVec
13 3 lvecdrng V LVec S DivRing
14 12 13 syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y S DivRing
15 simplr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m K
16 simpll X B Y B m K X = m · ˙ Y X B
17 7 16 sylbi X ˙ Y X B
18 eldifsni X Base V 0 V X 0 V
19 18 2 eleq2s X B X 0 V
20 6 17 19 3syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y X 0 V
21 simplr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S X = m · ˙ Y
22 simpr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S m = 0 S
23 22 oveq1d V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S m · ˙ Y = 0 S · ˙ Y
24 lveclmod V LVec V LMod
25 24 ad4antr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S V LMod
26 simplr X B Y B m K X = m · ˙ Y Y B
27 7 26 sylbi X ˙ Y Y B
28 eldifi Y Base V 0 V Y Base V
29 28 2 eleq2s Y B Y Base V
30 6 27 29 3syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y Y Base V
31 30 adantr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S Y Base V
32 eqid Base V = Base V
33 eqid 0 S = 0 S
34 eqid 0 V = 0 V
35 32 3 4 33 34 lmod0vs V LMod Y Base V 0 S · ˙ Y = 0 V
36 25 31 35 syl2anc V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S 0 S · ˙ Y = 0 V
37 21 23 36 3eqtrd V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m = 0 S X = 0 V
38 20 37 mteqand V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m 0 S
39 eqid inv r S = inv r S
40 5 33 39 drnginvrcl S DivRing m K m 0 S inv r S m K
41 14 15 38 40 syl3anc V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y inv r S m K
42 oveq1 n = inv r S m n · ˙ X = inv r S m · ˙ X
43 42 eqeq2d n = inv r S m Y = n · ˙ X Y = inv r S m · ˙ X
44 43 adantl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y n = inv r S m Y = n · ˙ X Y = inv r S m · ˙ X
45 simpr V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y X = m · ˙ Y
46 nelsn m 0 S ¬ m 0 S
47 38 46 syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y ¬ m 0 S
48 15 47 eldifd V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y m K 0 S
49 eldifi X Base V 0 V X Base V
50 49 2 eleq2s X B X Base V
51 6 17 50 3syl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y X Base V
52 32 4 3 5 33 39 12 48 51 30 lvecinv V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y X = m · ˙ Y Y = inv r S m · ˙ X
53 45 52 mpbid V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y Y = inv r S m · ˙ X
54 41 44 53 rspcedvd V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y n K Y = n · ˙ X
55 1 prjsprel Y ˙ X Y B X B n K Y = n · ˙ X
56 11 54 55 sylanbrc V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y Y ˙ X
57 simpr X B Y B m K X = m · ˙ Y m K X = m · ˙ Y
58 7 57 sylbi X ˙ Y m K X = m · ˙ Y
59 58 adantl V LVec X ˙ Y m K X = m · ˙ Y
60 56 59 r19.29a V LVec X ˙ Y Y ˙ X