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Theorem scutcut

Description: Cut properties of the surreal cut operation. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021)

Ref Expression
Assertion scutcut A s B A | s B No A s A | s B A | s B s B

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 scutval A s B A | s B = ι x y No | A s y y s B | bday x = bday y No | A s y y s B
2 conway A s B ∃! x y No | A s y y s B bday x = bday y No | A s y y s B
3 riotacl ∃! x y No | A s y y s B bday x = bday y No | A s y y s B ι x y No | A s y y s B | bday x = bday y No | A s y y s B y No | A s y y s B
4 2 3 syl A s B ι x y No | A s y y s B | bday x = bday y No | A s y y s B y No | A s y y s B
5 1 4 eqeltrd A s B A | s B y No | A s y y s B
6 sneq y = A | s B y = A | s B
7 6 breq2d y = A | s B A s y A s A | s B
8 6 breq1d y = A | s B y s B A | s B s B
9 7 8 anbi12d y = A | s B A s y y s B A s A | s B A | s B s B
10 9 elrab A | s B y No | A s y y s B A | s B No A s A | s B A | s B s B
11 3anass A | s B No A s A | s B A | s B s B A | s B No A s A | s B A | s B s B
12 10 11 bitr4i A | s B y No | A s y y s B A | s B No A s A | s B A | s B s B
13 5 12 sylib A s B A | s B No A s A | s B A | s B s B