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Theorem tz6.12-afv2

Description: Function value (Theorem 6.12(1) of TakeutiZaring p. 27), analogous to tz6.12 . (Contributed by AV, 5-Sep-2022)

Ref Expression
Assertion tz6.12-afv2 A y F ∃! y A y F F '''' A = y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl A V A y F A V
2 vex y V
3 2 a1i A V A y F y V
4 df-br A F y A y F
5 4 biimpri A y F A F y
6 5 adantl A V A y F A F y
7 breldmg A V y V A F y A dom F
8 1 3 6 7 syl3anc A V A y F A dom F
9 simpl A dom F ∃! y A y F A dom F
10 velsn x A x = A
11 breq1 A = x A F y x F y
12 4 11 bitr3id A = x A y F x F y
13 12 eqcoms x = A A y F x F y
14 13 eubidv x = A ∃! y A y F ∃! y x F y
15 14 biimpd x = A ∃! y A y F ∃! y x F y
16 10 15 sylbi x A ∃! y A y F ∃! y x F y
17 16 com12 ∃! y A y F x A ∃! y x F y
18 17 adantl A dom F ∃! y A y F x A ∃! y x F y
19 18 ralrimiv A dom F ∃! y A y F x A ∃! y x F y
20 fnres F A Fn A x A ∃! y x F y
21 fnfun F A Fn A Fun F A
22 20 21 sylbir x A ∃! y x F y Fun F A
23 19 22 syl A dom F ∃! y A y F Fun F A
24 9 23 jca A dom F ∃! y A y F A dom F Fun F A
25 24 ex A dom F ∃! y A y F A dom F Fun F A
26 8 25 syl A V A y F ∃! y A y F A dom F Fun F A
27 26 impr A V A y F ∃! y A y F A dom F Fun F A
28 df-dfat F defAt A A dom F Fun F A
29 27 28 sylibr A V A y F ∃! y A y F F defAt A
30 dfatafv2iota F defAt A F '''' A = ι y | A F y
31 29 30 syl A V A y F ∃! y A y F F '''' A = ι y | A F y
32 4 bicomi A y F A F y
33 32 eubii ∃! y A y F ∃! y A F y
34 33 biimpi ∃! y A y F ∃! y A F y
35 5 34 anim12i A y F ∃! y A y F A F y ∃! y A F y
36 35 adantl A V A y F ∃! y A y F A F y ∃! y A F y
37 iota1 ∃! y A F y A F y ι y | A F y = y
38 37 biimpac A F y ∃! y A F y ι y | A F y = y
39 36 38 syl A V A y F ∃! y A y F ι y | A F y = y
40 31 39 eqtrd A V A y F ∃! y A y F F '''' A = y
41 40 ex A V A y F ∃! y A y F F '''' A = y
42 eu2ndop1stv ∃! y A y F A V
43 42 pm2.24d ∃! y A y F ¬ A V F '''' A = y
44 43 adantl A y F ∃! y A y F ¬ A V F '''' A = y
45 44 com12 ¬ A V A y F ∃! y A y F F '''' A = y
46 41 45 pm2.61i A y F ∃! y A y F F '''' A = y