Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3vfriswmgr.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
3vfriswmgr.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
frgrusgr |
⊢ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph ) |
4 |
1 2
|
frgr3v |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph ↔ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
5 |
4
|
exp4b |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( 𝐺 ∈ USGraph → ( 𝐺 ∈ FriendGraph ↔ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) ) ) |
6 |
5
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph ↔ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
7 |
|
prcom |
⊢ { 𝐶 , 𝐴 } = { 𝐴 , 𝐶 } |
8 |
7
|
eleq1i |
⊢ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) |
9 |
8
|
biimpi |
⊢ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 → { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) |
10 |
9
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) |
12 |
|
simpl11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
13 |
|
simpl12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐵 ∈ 𝑌 ) |
14 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
15 |
14
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
17 |
12 13 16
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
18 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) |
19 |
18
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) |
20 |
17 19
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ) |
21 |
|
simp1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) |
22 |
1 2
|
3vfriswmgrlem |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
23 |
22
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
24 |
20 21 23
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
25 |
11 24
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
26 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) |
27 |
|
necom |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
28 |
27
|
biimpi |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
30 |
29
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
32 |
13 12 31
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ) |
33 |
|
tpcoma |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } |
34 |
18 33
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ) |
35 |
34
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) |
36 |
32 35
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ) |
37 |
|
prcom |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐵 , 𝐴 } |
38 |
37
|
eleq1i |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) |
39 |
38
|
biimpi |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 → { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) |
40 |
39
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) |
41 |
1 2
|
3vfriswmgrlem |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐵 , 𝐴 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
42 |
41
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐵 , 𝐴 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
43 |
|
reueq1 |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐵 , 𝐴 } → ( ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐵 , 𝐴 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
44 |
37 43
|
ax-mp |
⊢ ( ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐵 , 𝐴 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
45 |
42 44
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐵 , 𝐴 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
46 |
36 40 45
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) |
47 |
26 46
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
48 |
25 47
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
49 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → { 𝑣 , 𝐶 } = { 𝐴 , 𝐶 } ) |
50 |
49
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) ) |
51 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → { 𝑣 , 𝑤 } = { 𝐴 , 𝑤 } ) |
52 |
51
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
53 |
52
|
reubidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
54 |
50 53
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
55 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → { 𝑣 , 𝐶 } = { 𝐵 , 𝐶 } ) |
56 |
55
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) ) |
57 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → { 𝑣 , 𝑤 } = { 𝐵 , 𝑤 } ) |
58 |
57
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
59 |
58
|
reubidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
60 |
56 59
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
61 |
54 60
|
ralprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
62 |
61
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
63 |
62
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
65 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ( { 𝐴 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐴 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∧ ( { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝐵 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
66 |
48 65
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
67 |
|
diftpsn3 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
68 |
67
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
69 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
71 |
70
|
anbi2d |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
72 |
68 71
|
raleqbidv |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
73 |
72
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
74 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
75 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
76 |
66 75
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
77 |
76
|
3mix3d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
78 |
|
sneq |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → { ℎ } = { 𝐴 } ) |
79 |
78
|
difeq2d |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ) |
80 |
|
preq2 |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → { 𝑣 , ℎ } = { 𝑣 , 𝐴 } ) |
81 |
80
|
eleq1d |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) |
82 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
83 |
79 82
|
syl |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
84 |
81 83
|
anbi12d |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → ( ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
85 |
79 84
|
raleqbidv |
⊢ ( ℎ = 𝐴 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
86 |
|
sneq |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → { ℎ } = { 𝐵 } ) |
87 |
86
|
difeq2d |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ) |
88 |
|
preq2 |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → { 𝑣 , ℎ } = { 𝑣 , 𝐵 } ) |
89 |
88
|
eleq1d |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
90 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
91 |
87 90
|
syl |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
92 |
89 91
|
anbi12d |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → ( ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
93 |
87 92
|
raleqbidv |
⊢ ( ℎ = 𝐵 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
94 |
|
sneq |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → { ℎ } = { 𝐶 } ) |
95 |
94
|
difeq2d |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ) |
96 |
|
preq2 |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → { 𝑣 , ℎ } = { 𝑣 , 𝐶 } ) |
97 |
96
|
eleq1d |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ) ) |
98 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
99 |
95 98
|
syl |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → ( ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
100 |
97 99
|
anbi12d |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → ( ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
101 |
95 100
|
raleqbidv |
⊢ ( ℎ = 𝐶 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
102 |
85 93 101
|
rextpg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) → ( ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
103 |
102
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
104 |
103
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
105 |
104
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ( { 𝑣 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) ( { 𝑣 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐵 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ∨ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) ( { 𝑣 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { 𝐶 } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
106 |
77 105
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) ) → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
107 |
106
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
108 |
6 107
|
sylbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
109 |
108
|
expcom |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
110 |
109
|
com23 |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
111 |
3 110
|
mpcom |
⊢ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
112 |
111
|
com12 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
113 |
|
difeq1 |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ) |
114 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) → ( ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
115 |
113 114
|
syl |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ↔ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) |
116 |
115
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
117 |
113 116
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
118 |
117
|
rexeqbi1dv |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( ∃ ℎ ∈ 𝑉 ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ↔ ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
119 |
118
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ 𝑉 ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ↔ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
120 |
119
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ 𝑉 ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ↔ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∀ 𝑣 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
121 |
112 120
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ ℎ ∈ 𝑉 ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) ( { 𝑣 , ℎ } ∈ 𝐸 ∧ ∃! 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { ℎ } ) { 𝑣 , 𝑤 } ∈ 𝐸 ) ) ) |