Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
affinecomb1.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
affinecomb1.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
affinecomb1.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
4 |
|
affinecomb1.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
5 |
|
affinecomb1.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
6 |
|
affinecomb1.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ ) |
7 |
|
affinecomb1.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ ) |
8 |
|
affinecomb1.s |
⊢ 𝑆 = ( ( 𝐺 − 𝐹 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
9 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
10 |
9
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
11 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
13 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
14 |
13
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
15 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℂ ) |
17 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
18 |
10 12 14 16 17
|
affineequivne |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
19 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
20 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) = ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) ) |
21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝑡 · 𝐺 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ↔ 𝐸 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ) ) |
24 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ↔ 𝐸 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ) ) |
25 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ) |
26 |
1 2
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
27 |
3 2
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
28 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
29 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
30 |
4
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
31 |
28 29 30
|
subne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ≠ 0 ) |
32 |
26 27 31
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
7 6
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 − 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
34 |
32 33
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
34 6
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
36 |
35
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ∈ ℂ ) |
37 |
6
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ ) |
38 |
7
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ ) |
39 |
32
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
40 |
36 37 38 39
|
affineequiv4 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
41 |
25 40
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ) |
42 |
26
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
43 |
27
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
44 |
33
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 − 𝐹 ) ∈ ℂ ) |
45 |
42 43 44 31
|
div13d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝐺 − 𝐹 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
46 |
8
|
oveq1i |
⊢ ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐺 − 𝐹 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
47 |
45 46
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) |
49 |
41 48
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) |
51 |
50
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) ↔ 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
52 |
51
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐹 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐺 ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
54 |
24 53
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
55 |
54
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) ) |
56 |
18 55
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) ) |
57 |
56
|
impd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
58 |
57
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) → 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
59 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
60 |
59
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℂ ) |
61 |
37
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝐹 ∈ ℂ ) |
62 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ∈ ℂ ) |
63 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) ) |
65 |
64
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) ) |
66 |
63 65
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
67 |
66
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℂ ) |
68 |
60 61 62 67
|
affineequiv4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ↔ 𝐸 = ( ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
69 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) = ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐵 ) ) |
70 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝑡 · 𝐶 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐶 ) ) |
71 |
69 70
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐵 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐶 ) ) ) |
72 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
73 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
74 |
73 29 28 39 4
|
affineequivne |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐵 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
75 |
72 74
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐵 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐶 ) ) ) |
76 |
75
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) · 𝐵 ) + ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
77 |
71 76
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
78 |
77
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ) |
79 |
78
|
biantrurd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ↔ ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) ) ) |
80 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝐺 − 𝐹 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
81 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) ) |
82 |
81
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) ) |
83 |
46
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐺 − 𝐹 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
84 |
80 82 83
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) = ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
85 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) |
86 |
85
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐸 = ( ( 𝑡 · ( 𝐺 − 𝐹 ) ) + 𝐹 ) ↔ 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
87 |
68 79 86
|
3bitr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) ↔ 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |
88 |
32 87
|
rspcedv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) ) ) |
89 |
58 88
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐵 ) + ( 𝑡 · 𝐶 ) ) ∧ 𝐸 = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · 𝐹 ) + ( 𝑡 · 𝐺 ) ) ) ↔ 𝐸 = ( ( 𝑆 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + 𝐹 ) ) ) |