Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemc1.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemc1.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemc1.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemc1.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemc1.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemc1.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
8 |
7
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
9 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
10 |
1 5
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
13 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
14 |
8 11 12 13
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
15 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
16 |
1 6
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
18 |
1 4
|
latmcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
19 |
8 14 17 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
20 |
1 3
|
latjcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑃 ) ) |
21 |
8 11 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑃 ) ) |
22 |
1 2 3
|
latlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |
23 |
8 11 12 22
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |
24 |
1 2 3 4 5
|
atmod2i1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) ) ) |
25 |
7 9 14 17 23 24
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) ) ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( 1. ‘ 𝐾 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) |
27 |
2 3 26 5 6
|
lhpjat1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
27
|
3adant2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
29 |
28
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) ) |
30 |
|
hlol |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL ) |
31 |
7 30
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
32 |
1 4 26
|
olm11 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |
33 |
31 14 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |
34 |
29 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑃 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |
35 |
21 25 34
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) |