Theorem cdleme21c

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 115. (Contributed by NM, 28-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme21.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme21.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme21.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme21.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme21.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme21.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
Assertion	cdleme21c	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme21.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme21.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme21.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme21.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdleme21.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdleme21.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
8		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9		hlcvl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat )
10	8 9	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
11		simp12l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
13		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
14		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
15	1 2 4	atnlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑃 )
16	15	necomd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 )
17	8 12 11 14 7 16	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 )
18		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )
19	4 2	cvlsupr7	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑧 ∨ 𝑆 ) )
20	10 11 12 13 17 18 19	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑧 ∨ 𝑆 ) )
21	2 4	hlatjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )
22	8 13 12 21	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑧 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )
23	20 22	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )
24	23	breq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ↔ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) )
25		simp11r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
26		simp12r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 )
27		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
28	1 2 3 4 5 6	cdleme0a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
29	8 25 11 26 14 27 28	syl222anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
30	8	hllatd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
31		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
32	31 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33	8 11 14 32	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34	31 5	lhpbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35	25 34	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36	31 1 3	latmle2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
37	30 33 35 36	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
38	6 37	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
39		nbrne2	⊢ ( ( 𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) → 𝑈 ≠ 𝑃 )
40	38 26 39	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑈 ≠ 𝑃 )
41	1 2 4	cvlatexch1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
42	10 29 12 11 40 41	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
43	1 2 4	hlatlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
44	8 11 14 43	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
45	1 2 3 4 5 6	cdlemeulpq	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
46	8 25 11 14 45	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
47	31 4	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48	11 47	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
49	31 4	atbase	⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50	29 49	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51	31 1 2	latjle12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
52	30 48 50 33 51	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
53	44 46 52	mpbi2and	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
54	31 4	atbase	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55	12 54	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56	31 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57	8 11 29 56	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58	31 1	lattr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
59	30 55 57 33 58	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
60	53 59	mpan2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
61	42 60	syld	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
62	24 61	sylbird	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
63	7 62	mtod	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )