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Theorem cdlemg42

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg42.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg42.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg42.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg42.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg42.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg42.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg42 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg42.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg42.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg42.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 cdlemg42.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
5 cdlemg42.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdlemg42.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
8 simpl1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9 simp31l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
10 9 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
11 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
12 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
13 1 3 4 5 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
14 11 12 9 13 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
15 14 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
16 1 2 3 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
17 8 10 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
18 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
19 8 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
20 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
21 20 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 10 21 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
24 1 3 4 5 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
25 11 23 9 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
26 25 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
27 20 3 atbase ⊢ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 26 27 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 20 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 8 10 15 29 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 20 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
32 19 22 28 30 31 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
33 17 18 32 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
34 simpl32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
35 34 necomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ≠ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) )
36 1 2 3 ps-1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
37 8 10 26 35 10 15 36 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
38 33 37 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
39 38 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
40 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
41 simpl2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
42 simpl31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
43 eqid ⊢ ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
44 1 2 43 3 4 5 6 trlval2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
45 40 41 42 44 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
46 simpl2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
47 1 2 43 3 4 5 6 trlval2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
48 40 46 42 47 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
49 39 45 48 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
50 49 ex ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
51 50 necon3ad ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
52 7 51 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )