Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwwlkf1o.d |
⊢ 𝐷 = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∣ ( lastS ‘ 𝑤 ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) } |
2 |
|
clwwlkf1o.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑡 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) |
3 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑡 → ( lastS ‘ 𝑤 ) = ( lastS ‘ 𝑡 ) ) |
4 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑡 → ( 𝑤 ‘ 0 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) |
5 |
3 4
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑡 → ( ( lastS ‘ 𝑤 ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ↔ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) |
6 |
5 1
|
elrab2 |
⊢ ( 𝑡 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) |
7 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
8 |
|
iswwlksn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
12 |
10 11
|
iswwlks |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
13 |
12
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑡 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
14 |
13
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑡 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
15 |
9 14
|
bitrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
16 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
17 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
18 |
7 17
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
lep1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) |
21 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
22 |
7 18 20 21
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
23 |
22
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
24 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) = ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
25 |
24
|
eleq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
26 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
28 |
23 27
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) |
29 |
16 28
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) ) |
30 |
|
pfxlen |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
32 |
31
|
ex |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) |
33 |
32
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) |
34 |
33
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
36 |
|
pfxcl |
⊢ ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
38 |
37
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
39 |
38
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
40 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) |
42 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
43 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ ) |
44 |
42 43
|
pncand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ..^ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
46 |
41 45
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
47 |
46
|
raleqdv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
48 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
49 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
50 |
48 49
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
51 |
19
|
lem1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ≤ 𝑁 ) |
52 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
53 |
50 48 51 52
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
54 |
|
fzoss2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
57 |
|
ssralv |
⊢ ( ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
58 |
56 57
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
59 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
60 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
61 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
62 |
60 61
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) |
63 |
62
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) |
64 |
55
|
sseld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) |
65 |
64
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) |
66 |
65
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
67 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) ) |
68 |
67
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) ) |
69 |
59 63 66 68
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) ) |
70 |
48
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
71 |
|
elfzom1elp1fzo |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
72 |
70 71
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
73 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
74 |
73
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
75 |
59 63 72 74
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
76 |
69 75
|
preq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) |
77 |
76
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
78 |
77
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
79 |
78
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
80 |
79
|
ex |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
81 |
80
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
82 |
58 81
|
syld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
83 |
47 82
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
84 |
83
|
ex |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
com23 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
86 |
85
|
com14 |
⊢ ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
imp |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
88 |
87
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
89 |
88
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
90 |
89
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
91 |
90
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
92 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 → ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
93 |
92
|
oveq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
94 |
93
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
95 |
94
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
96 |
91 95
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
97 |
|
simprl2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
98 |
20
|
ancli |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
99 |
48
|
peano2zd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) |
100 |
|
fznn |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
101 |
99 100
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
102 |
98 101
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
103 |
102
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
104 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
105 |
104
|
eleq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
106 |
105
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
107 |
106
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
108 |
103 107
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) |
109 |
97 108
|
jca |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) ) |
110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) ) |
111 |
|
pfxfvlsw |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) → ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
112 |
110 111
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
113 |
|
pfxfv0 |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) |
114 |
109 113
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) |
115 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) |
116 |
112 115
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } = { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 0 ) } ) |
117 |
|
eqcom |
⊢ ( ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ↔ ( 𝑡 ‘ 0 ) = ( lastS ‘ 𝑡 ) ) |
118 |
117
|
biimpi |
⊢ ( ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) → ( 𝑡 ‘ 0 ) = ( lastS ‘ 𝑡 ) ) |
119 |
118
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( 𝑡 ‘ 0 ) = ( lastS ‘ 𝑡 ) ) |
120 |
|
lsw |
⊢ ( 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) ) |
121 |
120
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) ) |
122 |
121
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) ) |
124 |
40
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
125 |
124 44
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
126 |
125
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
127 |
126
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( 𝑡 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) = ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) ) |
128 |
119 123 127
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( 𝑡 ‘ 0 ) = ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) ) |
129 |
128
|
preq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 0 ) } = { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ) |
130 |
40 44
|
sylan9eq |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
131 |
130
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
132 |
131
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
133 |
|
fzo0end |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
134 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 1 ) → ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
135 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 1 ) → ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) |
136 |
134 135
|
preq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 1 ) → { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ) |
137 |
136
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 1 ) → ( { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
138 |
137
|
rspcva |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
139 |
133 138
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
140 |
42 43
|
npcand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
141 |
140
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) ) |
142 |
141
|
preq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } = { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ) |
143 |
142
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
144 |
143
|
biimpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
145 |
144
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
146 |
139 145
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
147 |
146
|
ex |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
148 |
147
|
adantl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
149 |
132 148
|
sylbid |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
150 |
149
|
ex |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
151 |
150
|
com3r |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
152 |
151
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
153 |
152
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
154 |
153
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
155 |
154
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 𝑁 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
156 |
129 155
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → { ( 𝑡 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) , ( 𝑡 ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
157 |
116 156
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
158 |
157
|
adantl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
159 |
39 96 158
|
3jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
160 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
161 |
159 160
|
jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) |
162 |
35 161
|
mpancom |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) → ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) |
163 |
162
|
exp31 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑡 ) − 1 ) ) { ( 𝑡 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑡 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑡 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) → ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) ) ) |
164 |
15 163
|
sylbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) → ( ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) → ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) ) ) |
165 |
164
|
imp32 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) |
166 |
10 11
|
isclwwlknx |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
167 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) , ( ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
168 |
165 167
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( lastS ‘ 𝑡 ) = ( 𝑡 ‘ 0 ) ) ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) |
169 |
6 168
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑡 prefix 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) |
170 |
169 2
|
fmptd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) |