| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
atanval |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 2 |
1
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( i · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 3 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 4 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ ) |
| 5 |
|
halfcl |
⊢ ( i ∈ ℂ → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
| 6 |
3 5
|
mp1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
| 7 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 8 |
|
atandm2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 9 |
8
|
simp1bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 10 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 11 |
3 9 10
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
7 11 12
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 14 |
8
|
simp2bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
| 15 |
13 14
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 16 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 17 |
7 11 16
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 18 |
8
|
simp3bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
| 19 |
17 18
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 20 |
15 19
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 21 |
4 6 20
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( i · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 22 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
| 23 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
| 24 |
|
divneg |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → - ( 1 / 2 ) = ( - 1 / 2 ) ) |
| 25 |
7 22 23 24
|
mp3an |
⊢ - ( 1 / 2 ) = ( - 1 / 2 ) |
| 26 |
|
ixi |
⊢ ( i · i ) = - 1 |
| 27 |
26
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · i ) / 2 ) = ( - 1 / 2 ) |
| 28 |
3 3 22 23
|
divassi |
⊢ ( ( i · i ) / 2 ) = ( i · ( i / 2 ) ) |
| 29 |
25 27 28
|
3eqtr2i |
⊢ - ( 1 / 2 ) = ( i · ( i / 2 ) ) |
| 30 |
29
|
oveq1i |
⊢ ( - ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( i · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 31 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
| 32 |
|
mulneg12 |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( - ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 33 |
31 20 32
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( - ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 34 |
15 19
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 35 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 36 |
31
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
| 37 |
36 19 15
|
subdid |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 38 |
33 35 37
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( - ( 1 / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 39 |
30 38
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 40 |
2 21 39
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 41 |
40
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 42 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 43 |
31 19 42
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 44 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 45 |
31 15 44
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 46 |
|
efsub |
⊢ ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) / ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 47 |
43 45 46
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) − ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) / ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 48 |
17 18 36
|
cxpefd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 49 |
|
cxpsqrt |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( √ ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 50 |
17 49
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( √ ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 51 |
48 50
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( √ ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 52 |
13 14 36
|
cxpefd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 53 |
|
cxpsqrt |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( √ ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 54 |
13 53
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 2 ) ) = ( √ ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 55 |
52 54
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( √ ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 56 |
51 55
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) / ( exp ‘ ( ( 1 / 2 ) · ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( √ ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) / ( √ ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 57 |
41 47 56
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( √ ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) / ( √ ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |