Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
emcl.1 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
2 |
|
emcl.2 |
⊢ 𝐺 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) ) ) |
3 |
|
peano2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
4 |
3
|
nnrecred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
5 |
3
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
6 |
5
|
relogcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
7 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
8 |
7
|
relogcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
9 |
6 8
|
resubcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
11 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
nnrecred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
14 |
10 13
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
15 |
5
|
rpreccld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
16 |
15
|
rpge0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
17 |
|
1div1e1 |
⊢ ( 1 / 1 ) = 1 |
18 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
19 |
|
ltaddrp |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → 1 < ( 1 + 𝑁 ) ) |
20 |
18 7 19
|
sylancr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 < ( 1 + 𝑁 ) ) |
21 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
22 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
23 |
|
addcom |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 1 + 𝑁 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
24 |
21 22 23
|
sylancr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 + 𝑁 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
25 |
20 24
|
breqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
26 |
17 25
|
eqbrtrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / 1 ) < ( 𝑁 + 1 ) ) |
27 |
3
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
28 |
3
|
nngt0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
29 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
30 |
|
ltrec1 |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 1 / 1 ) < ( 𝑁 + 1 ) ↔ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) < 1 ) ) |
31 |
18 29 30
|
mpanl12 |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 1 / 1 ) < ( 𝑁 + 1 ) ↔ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) < 1 ) ) |
32 |
27 28 31
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 1 / 1 ) < ( 𝑁 + 1 ) ↔ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) < 1 ) ) |
33 |
26 32
|
mpbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) < 1 ) |
34 |
4 16 33
|
eflegeo |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( exp ‘ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( 1 / ( 1 − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
35 |
27
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
36 |
|
nnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0 ) |
37 |
3
|
nnne0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ≠ 0 ) |
38 |
22 35 36 37
|
recdivd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) |
39 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ ) |
40 |
35 39 35 37
|
divsubdird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) / ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) / ( 𝑁 + 1 ) ) − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
41 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
42 |
22 21 41
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
43 |
42
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) / ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 𝑁 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
44 |
35 37
|
dividd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) / ( 𝑁 + 1 ) ) = 1 ) |
45 |
44
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / ( 𝑁 + 1 ) ) − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 1 − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
46 |
40 43 45
|
3eqtr3rd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑁 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
47 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 1 − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( 1 / ( 𝑁 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
48 |
5 7
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
49 |
48
|
reeflogd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( exp ‘ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) |
50 |
38 47 49
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 1 − ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( exp ‘ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) ) |
51 |
34 50
|
breqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( exp ‘ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( exp ‘ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) ) |
52 |
5 7
|
relogdivd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
53 |
52 9
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
54 |
|
efle |
⊢ ( ( ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( exp ‘ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) ) ) |
55 |
4 53 54
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( exp ‘ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) ) ) |
56 |
51 55
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) / 𝑁 ) ) ) |
57 |
56 52
|
breqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
58 |
4 9 14 57
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
59 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ ) |
60 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
61 |
59 60
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
62 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
63 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
64 |
63
|
nnrecred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
65 |
64
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
66 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 1 / 𝑚 ) = ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
67 |
61 65 66
|
fsump1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
68 |
6
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
69 |
14
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
70 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
71 |
68 69 70
|
addsub12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
72 |
58 67 71
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ≤ ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
73 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
74 |
73 64
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
75 |
14 8
|
resubcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
74 6 75
|
lesubadd2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ↔ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ≤ ( ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) ) |
77 |
72 76
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
78 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
79 |
78
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ) |
80 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → ( log ‘ 𝑛 ) = ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
81 |
79 80
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
82 |
|
ovex |
⊢ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ V |
83 |
81 1 82
|
fvmpt |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
84 |
3 83
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
85 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... 𝑁 ) ) |
86 |
85
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) ) |
87 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( log ‘ 𝑛 ) = ( log ‘ 𝑁 ) ) |
88 |
86 87
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
89 |
|
ovex |
⊢ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ∈ V |
90 |
88 1 89
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
91 |
77 84 90
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) |
92 |
|
peano2nn |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
93 |
3 92
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
94 |
93
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
95 |
94
|
relogcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
96 |
95 6
|
resubcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
97 |
|
logdifbnd |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ+ → ( ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
98 |
5 97
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
99 |
96 4 14 98
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( 1 / ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
100 |
95
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
69 68 100
|
subadd23d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) + ( ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
102 |
99 101 67
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ≤ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ) |
103 |
14 6
|
resubcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
104 |
|
leaddsub |
⊢ ( ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ≤ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ↔ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) |
105 |
103 95 74 104
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ≤ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) ↔ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) |
106 |
102 105
|
mpbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
107 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( log ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) = ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
108 |
86 107
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
109 |
|
ovex |
⊢ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ V |
110 |
108 2 109
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐺 ‘ 𝑁 ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
111 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → ( log ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) = ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) |
112 |
79 111
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑁 + 1 ) → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
113 |
|
ovex |
⊢ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ∈ V |
114 |
112 2 113
|
fvmpt |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ → ( 𝐺 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
115 |
3 114
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐺 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( 1 / 𝑚 ) − ( log ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
116 |
106 110 115
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐺 ‘ 𝑁 ) ≤ ( 𝐺 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
117 |
91 116
|
jca |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑁 ) ≤ ( 𝐺 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |