Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumdixp.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
gsumdixp.t |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
gsumdixp.z |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
gsumdixp.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
gsumdixp.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊 ) |
6 |
|
gsumdixp.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
7 |
|
gsumdixp.x |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
gsumdixp.y |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
9 |
|
gsumdixp.xf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) finSupp 0 ) |
10 |
|
gsumdixp.yf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) finSupp 0 ) |
11 |
|
ringcmn |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd ) |
12 |
6 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd ) |
13 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → 𝐽 ∈ 𝑊 ) |
14 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
15 |
7
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
16 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝑖 ∈ 𝐼 ) |
17 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
18 |
15 16 17
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
19 |
8
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) : 𝐽 ⟶ 𝐵 ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝑗 ∈ 𝐽 ) |
21 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) : 𝐽 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
19 20 21
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) |
23 |
1 2
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
24 |
14 18 22 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
25 |
9
|
fsuppimpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∈ Fin ) |
26 |
10
|
fsuppimpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ∈ Fin ) |
27 |
|
xpfi |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ∈ Fin ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ∈ Fin ) |
28 |
25 26 27
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ∈ Fin ) |
29 |
|
ianor |
⊢ ( ¬ ( 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
30 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑖 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) 𝑗 ↔ ( 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
31 |
29 30
|
xchnxbir |
⊢ ( ¬ 𝑖 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) 𝑗 ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
32 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 𝑖 ∈ 𝐼 ) |
33 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) ) |
34 |
33
|
biimpri |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) ) |
35 |
32 34
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) ) |
36 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
37 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) |
38 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
39 |
3
|
fvexi |
⊢ 0 ∈ V |
40 |
39
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 0 ∈ V ) |
41 |
36 37 38 40
|
suppssr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
42 |
35 41
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
43 |
42
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0 · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
44 |
1 2 3
|
ringlz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) → ( 0 · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
45 |
14 22 44
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( 0 · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → ( 0 · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
47 |
43 46
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
48 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 𝑗 ∈ 𝐽 ) |
49 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ↔ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
50 |
49
|
biimpri |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
51 |
48 50
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) |
52 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) : 𝐽 ⟶ 𝐵 ) |
53 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ⊆ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) |
54 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ 𝑊 ) |
55 |
52 53 54 40
|
suppssr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) |
56 |
51 55
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) |
57 |
56
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · 0 ) ) |
58 |
1 2 3
|
ringrz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · 0 ) = 0 ) |
59 |
14 18 58
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · 0 ) = 0 ) |
60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · 0 ) = 0 ) |
61 |
57 60
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
62 |
47 61
|
jaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
63 |
31 62
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ¬ 𝑖 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) 𝑗 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
64 |
63
|
anasss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ∧ ¬ 𝑖 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) supp 0 ) × ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) supp 0 ) ) 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = 0 ) |
65 |
1 3 12 4 13 24 28 64
|
gsum2d2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
66 |
|
nffvmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) |
67 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 · |
68 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) |
69 |
66 67 68
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) |
70 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) |
71 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑦 · |
72 |
|
nffvmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) |
73 |
70 71 72
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) |
74 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) |
75 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) |
76 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) ) |
77 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑦 → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) |
78 |
76 77
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) |
79 |
69 73 74 75 78
|
cbvmpo |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) |
80 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑥 ∈ 𝐼 ) |
81 |
7
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
82 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) |
83 |
82
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑋 ) |
84 |
80 81 83
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑋 ) |
85 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑦 ∈ 𝐽 ) |
86 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) = ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) |
87 |
86
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) = 𝑌 ) |
88 |
85 8 87
|
3imp3i2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) = 𝑌 ) |
89 |
84 88
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) ) |
90 |
89
|
mpoeq3dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) |
91 |
79 90
|
eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) |
92 |
91
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) |
93 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑅 |
94 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 Σg |
95 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐽 |
96 |
95 69
|
nfmpt |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
97 |
93 94 96
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
98 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
99 |
76
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
100 |
99
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
101 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) |
102 |
101 71 72
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) |
103 |
77
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) |
104 |
102 75 103
|
cbvmpt |
⊢ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) |
105 |
100 104
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
106 |
105
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) |
107 |
97 98 106
|
cbvmpt |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) |
108 |
89
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) ) |
109 |
108
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) |
110 |
109
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) |
111 |
110
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) ) |
112 |
107 111
|
eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) ) |
113 |
112
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ‘ 𝑖 ) · ( ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) ) ) |
114 |
65 92 113
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) ) ) |
115 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 ) |
116 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
117 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝐽 ∈ 𝑊 ) |
118 |
8
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
119 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) finSupp 0 ) |
120 |
1 3 115 2 116 117 7 118 119
|
gsummulc2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) ) |
121 |
120
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) ) ) |
122 |
121
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) ) ) ) |
123 |
1 3 12 5 19 10
|
gsumcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ) |
124 |
1 3 115 2 6 4 123 7 9
|
gsummulc1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ) · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) ) |
125 |
114 122 124
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋 ) ) · ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) ) |