Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
restlly.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) |
2 |
|
islly2.2 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
3 |
|
llytop |
⊢ ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 → 𝐽 ∈ Top ) |
4 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
5 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) |
6 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
7 |
2
|
topopn |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
10 |
|
llyi |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
11 |
5 8 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
12 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
13 |
12
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
14 |
11 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
15 |
14
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) |
16 |
4 15
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
17 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
18 |
|
elssuni |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐽 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
19 |
18 2
|
sseqtrrdi |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐽 → 𝑧 ⊆ 𝑋 ) |
20 |
19
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → 𝑧 ⊆ 𝑋 ) |
21 |
|
ssralv |
⊢ ( 𝑧 ⊆ 𝑋 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
23 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
24 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐽 ) |
25 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐽 ) |
26 |
|
inopn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ 𝐽 ) |
27 |
23 24 25 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ 𝐽 ) |
28 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
29 |
|
inss1 |
⊢ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ⊆ 𝑧 |
30 |
28 29
|
elpwi2 |
⊢ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ 𝒫 𝑧 |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ 𝒫 𝑧 ) |
32 |
27 31
|
elind |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ) |
33 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑧 ) |
34 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑢 ) |
35 |
33 34
|
elind |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) |
36 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ⊆ 𝑢 |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ⊆ 𝑢 ) |
38 |
|
restabs |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) = ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ) |
39 |
23 37 25 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) = ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ) |
40 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) = ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ) |
41 |
40
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
42 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) → ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) = ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ) |
43 |
42
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) → ( ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) ) |
44 |
43
|
raleqbi1dv |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑗 ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) ) |
45 |
1
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ 𝐴 ∀ 𝑥 ∈ 𝑗 ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) |
46 |
45
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑗 ∈ 𝐴 ∀ 𝑥 ∈ 𝑗 ( 𝑗 ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) |
47 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) |
48 |
44 46 47
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) |
49 |
|
elrestr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ) |
50 |
23 25 24 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ) |
51 |
41 48 50
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) |
52 |
39 51
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) |
53 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( 𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ) |
54 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) = ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ) |
55 |
54
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
56 |
53 55
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∧ ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
57 |
56
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ∧ ( 𝐽 ↾t ( 𝑧 ∩ 𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) |
58 |
32 35 52 57
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) |
59 |
58
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
60 |
59
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) → ( ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
61 |
60
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
62 |
22 61
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
63 |
62
|
ralrimdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
64 |
63
|
impr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) |
65 |
|
islly |
⊢ ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
66 |
17 64 65
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) |
67 |
16 66
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑢 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) |