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Theorem islly2

Description: An alternative expression for J e. Locally A when A passes to open subspaces: A space is locally A if every point is contained in an open neighborhood with property A . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses restlly.1 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗𝐴𝑥𝑗 ) ) → ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
islly2.2 𝑋 = 𝐽
Assertion islly2 ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 restlly.1 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗𝐴𝑥𝑗 ) ) → ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
2 islly2.2 𝑋 = 𝐽
3 llytop ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴𝐽 ∈ Top )
4 3 adantl ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → 𝐽 ∈ Top )
5 simplr ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → 𝐽 ∈ Locally 𝐴 )
6 4 adantr ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top )
7 2 topopn ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽 )
8 6 7 syl ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → 𝑋𝐽 )
9 simpr ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → 𝑦𝑋 )
10 llyi ( ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴𝑋𝐽𝑦𝑋 ) → ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑢𝑋𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
11 5 8 9 10 syl3anc ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑢𝑋𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
12 3simpc ( ( 𝑢𝑋𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
13 12 reximi ( ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑢𝑋𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
14 11 13 syl ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) ∧ 𝑦𝑋 ) → ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
15 14 ralrimiva ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
16 4 15 jca ( ( 𝜑𝐽 ∈ Locally 𝐴 ) → ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) )
17 simprl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top )
18 elssuni ( 𝑧𝐽𝑧 𝐽 )
19 18 2 sseqtrrdi ( 𝑧𝐽𝑧𝑋 )
20 19 adantl ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧𝐽 ) → 𝑧𝑋 )
21 ssralv ( 𝑧𝑋 → ( ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦𝑧𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) )
22 20 21 syl ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧𝐽 ) → ( ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦𝑧𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) )
23 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top )
24 simplrl ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑧𝐽 )
25 simprl ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑢𝐽 )
26 inopn ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧𝐽𝑢𝐽 ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ 𝐽 )
27 23 24 25 26 syl3anc ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ 𝐽 )
28 vex 𝑧 ∈ V
29 inss1 ( 𝑧𝑢 ) ⊆ 𝑧
30 28 29 elpwi2 ( 𝑧𝑢 ) ∈ 𝒫 𝑧
31 30 a1i ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ 𝒫 𝑧 )
32 27 31 elind ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) )
33 simplrr ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦𝑧 )
34 simprrl ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦𝑢 )
35 33 34 elind ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑧𝑢 ) )
36 inss2 ( 𝑧𝑢 ) ⊆ 𝑢
37 36 a1i ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧𝑢 ) ⊆ 𝑢 )
38 restabs ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑧𝑢 ) ⊆ 𝑢𝑢𝐽 ) → ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧𝑢 ) ) = ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) )
39 23 37 25 38 syl3anc ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧𝑢 ) ) = ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) )
40 oveq2 ( 𝑥 = ( 𝑧𝑢 ) → ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) = ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧𝑢 ) ) )
41 40 eleq1d ( 𝑥 = ( 𝑧𝑢 ) → ( ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) )
42 oveq1 ( 𝑗 = ( 𝐽t 𝑢 ) → ( 𝑗t 𝑥 ) = ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) )
43 42 eleq1d ( 𝑗 = ( 𝐽t 𝑢 ) → ( ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
44 43 raleqbi1dv ( 𝑗 = ( 𝐽t 𝑢 ) → ( ∀ 𝑥𝑗 ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽t 𝑢 ) ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
45 1 ralrimivva ( 𝜑 → ∀ 𝑗𝐴𝑥𝑗 ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
46 45 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑗𝐴𝑥𝑗 ( 𝑗t 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
47 simprrr ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 )
48 44 46 47 rspcdva ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽t 𝑢 ) ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
49 elrestr ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑢𝐽𝑧𝐽 ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ ( 𝐽t 𝑢 ) )
50 23 25 24 49 syl3anc ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧𝑢 ) ∈ ( 𝐽t 𝑢 ) )
51 41 48 50 rspcdva ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐽t 𝑢 ) ↾t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 )
52 39 51 eqeltrrd ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 )
53 eleq2 ( 𝑣 = ( 𝑧𝑢 ) → ( 𝑦𝑣𝑦 ∈ ( 𝑧𝑢 ) ) )
54 oveq2 ( 𝑣 = ( 𝑧𝑢 ) → ( 𝐽t 𝑣 ) = ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) )
55 54 eleq1d ( 𝑣 = ( 𝑧𝑢 ) → ( ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) )
56 53 55 anbi12d ( 𝑣 = ( 𝑧𝑢 ) → ( ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑧𝑢 ) ∧ ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
57 56 rspcev ( ( ( 𝑧𝑢 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑧𝑢 ) ∧ ( 𝐽t ( 𝑧𝑢 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) )
58 32 35 52 57 syl12anc ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) ∧ ( 𝑢𝐽 ∧ ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) )
59 58 rexlimdvaa ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑧𝐽𝑦𝑧 ) ) → ( ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
60 59 anassrs ( ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧𝐽 ) ∧ 𝑦𝑧 ) → ( ∃ 𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
61 60 ralimdva ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧𝐽 ) → ( ∀ 𝑦𝑧𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦𝑧𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
62 22 61 syld ( ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) ∧ 𝑧𝐽 ) → ( ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦𝑧𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
63 62 ralrimdva ( ( 𝜑𝐽 ∈ Top ) → ( ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑧𝐽𝑦𝑧𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
64 63 impr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → ∀ 𝑧𝐽𝑦𝑧𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) )
65 islly ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑧𝐽𝑦𝑧𝑣 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 𝑧 ) ( 𝑦𝑣 ∧ ( 𝐽t 𝑣 ) ∈ 𝐴 ) ) )
66 17 64 65 sylanbrc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Locally 𝐴 )
67 16 66 impbida ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ Locally 𝐴 ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑋𝑢𝐽 ( 𝑦𝑢 ∧ ( 𝐽t 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) ) )