Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isncvsngp.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
isncvsngp.n |
⊢ 𝑁 = ( norm ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
isncvsngp.s |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
isncvsngp.f |
⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
isncvsngp.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 ) |
6 |
|
isnvc |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmVec ↔ ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec ) ) |
7 |
6
|
biancomi |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmVec ↔ ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ) ) |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → ( 𝑊 ∈ NrmVec ↔ ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ) ) ) |
9 |
|
id |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec ) |
10 |
9
|
cvslvec |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec ) |
11 |
10
|
biantrurd |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → ( 𝑊 ∈ NrmMod ↔ ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ) ) ) |
12 |
9
|
cvsclm |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( norm ‘ 𝐹 ) = ( norm ‘ 𝐹 ) |
14 |
1 2 3 4 5 13
|
isnlm |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod ↔ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
15 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ) ) |
16 |
15
|
biancomi |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ) ) |
17 |
16
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
18 |
|
anass |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
bitri |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
a1i |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
clmlmod |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod ) |
22 |
4 5
|
clmsca |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) |
23 |
|
cnnrg |
⊢ ℂfld ∈ NrmRing |
24 |
4 5
|
clmsubrg |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) ) |
25 |
|
eqid |
⊢ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) = ( ℂfld ↾s 𝐾 ) |
26 |
25
|
subrgnrg |
⊢ ( ( ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) ) → ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ∈ NrmRing ) |
27 |
23 24 26
|
sylancr |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ∈ NrmRing ) |
28 |
22 27
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing ) |
29 |
21 28
|
jca |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ) |
30 |
29
|
biantrurd |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
ralcom |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) |
32 |
22
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( norm ‘ 𝐹 ) = ( norm ‘ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) ) |
33 |
|
subrgsubg |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) → 𝐾 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) ) |
34 |
|
eqid |
⊢ ( norm ‘ ℂfld ) = ( norm ‘ ℂfld ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( norm ‘ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) = ( norm ‘ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) |
36 |
25 34 35
|
subgnm |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) → ( norm ‘ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) = ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ) |
37 |
24 33 36
|
3syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( norm ‘ ( ℂfld ↾s 𝐾 ) ) = ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ) |
38 |
32 37
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( norm ‘ 𝐹 ) = ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( norm ‘ 𝐹 ) = ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ) |
40 |
39
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) ) |
41 |
|
cnfldnm |
⊢ abs = ( norm ‘ ℂfld ) |
42 |
41
|
eqcomi |
⊢ ( norm ‘ ℂfld ) = abs |
43 |
42
|
reseq1i |
⊢ ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) = ( abs ↾ 𝐾 ) |
44 |
43
|
fveq1i |
⊢ ( ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( abs ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) |
45 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐾 → ( ( abs ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ 𝑘 ) ) |
46 |
45
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( abs ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ 𝑘 ) ) |
47 |
44 46
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( ( norm ‘ ℂfld ) ↾ 𝐾 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ 𝑘 ) ) |
48 |
40 47
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ 𝑘 ) ) |
49 |
48
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) |
50 |
49
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂMod ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
51 |
50
|
2ralbidva |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
52 |
31 51
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
53 |
52
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
54 |
20 30 53
|
3bitr2d |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
55 |
14 54
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂMod → ( 𝑊 ∈ NrmMod ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
56 |
12 55
|
syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → ( 𝑊 ∈ NrmMod ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
57 |
8 11 56
|
3bitr2d |
⊢ ( 𝑊 ∈ ℂVec → ( 𝑊 ∈ NrmVec ↔ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
58 |
57
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec ) ↔ ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
59 |
|
elin |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( NrmVec ∩ ℂVec ) ↔ ( 𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec ) ) |
60 |
59
|
biancomi |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( NrmVec ∩ ℂVec ) ↔ ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec ) ) |
61 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
62 |
58 60 61
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( NrmVec ∩ ℂVec ) ↔ ( 𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑘 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |