Theorem itrere

Description: _i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024)

	Ref	Expression
Assertion	itrere	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 )
2		sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℂ )
5		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ )
6	5	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ )
7		simplrl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
8	7	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
9	4 6 8	mulassd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · 𝑥 ) = ( i · ( 𝑅 · 𝑥 ) ) )
10		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · ( 𝑅 · 𝑥 ) ) = ( i · 1 ) )
12		it1ei	⊢ ( i · 1 ) = i
13	12	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 1 ) = i )
14	9 11 13	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · 𝑥 ) = i )
15		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
16	15 7	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · 𝑥 ) ∈ ℝ )
17	14 16	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℝ )
18	17	ex	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → i ∈ ℝ ) )
19	2 18	mtoi	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
20	1 19	rexlimddv	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
21	20	ex	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( 𝑅 ≠ 0 → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
22	21	necon4ad	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → 𝑅 = 0 ) )
23		oveq2	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) = ( i · 0 ) )
24		sn-it0e0	⊢ ( i · 0 ) = 0
25		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
26	24 25	eqeltri	⊢ ( i · 0 ) ∈ ℝ
27	23 26	eqeltrdi	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
28	22 27	impbid1	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )