Theorem itrere

Description: _i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025)

	Ref	Expression
Assertion	itrere	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℂ )
4		simpll	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ )
5	4	recnd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ )
6		simplr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ≠ 0 )
7	3 5 6	divcan4d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) / 𝑅 ) = i )
8		simpr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
9	8 4 6	redivcld	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) / 𝑅 ) ∈ ℝ )
10	7 9	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℝ )
11	10	ex	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → i ∈ ℝ ) )
12	1 11	mtoi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
13	12	ex	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( 𝑅 ≠ 0 → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
14	13	necon4ad	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → 𝑅 = 0 ) )
15		oveq2	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) = ( i · 0 ) )
16		it0e0	⊢ ( i · 0 ) = 0
17		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
18	16 17	eqeltri	⊢ ( i · 0 ) ∈ ℝ
19	15 18	eqeltrdi	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
20	14 19	impbid1	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )