Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhpex1.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
lhpex1.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
lhpex1.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
5 |
1 2 3
|
lhpexle1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) |
7 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
8 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
9 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) → 𝑋 = 𝑌 ) |
10 |
8 9
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
11 |
7 8 10
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) |
12 |
11
|
3expia |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) ) |
13 |
12
|
reximdv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) ) |
14 |
6 13
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) |
15 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
16 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
17 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝑋 ≠ 𝑌 ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
20 |
1 19 2
|
hlsupr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
21 |
15 16 17 18 20
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
23 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
24 |
23
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
25 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
26 |
22 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
29 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
30 |
22 19 2
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
31 |
23 28 29 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
32 |
|
simpl1r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
33 |
22 3
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
35 |
|
simprr3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
36 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑊 ) |
37 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ≤ 𝑊 ) |
38 |
22 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
39 |
28 38
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
40 |
22 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
41 |
29 40
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
42 |
22 1 19
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) ) |
43 |
24 39 41 34 42
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) ) |
44 |
36 37 43
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) |
45 |
22 1 24 27 31 34 35 44
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
46 |
|
simprr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
47 |
|
simprr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
48 |
45 46 47
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) |
49 |
48
|
exp44 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ≠ 𝑌 → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) ) ) ) |
50 |
49
|
imp31 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) ) |
51 |
50
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) ) |
52 |
21 51
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) |
53 |
14 52
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ) ) |