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Theorem mapdheq4lem

Description: Lemma for mapdheq4 . Part (4) in Baer p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdh.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 )
mapdh.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
mapdh.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
mapdh.m ⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh.u ⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
mapdh.s ⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 )
mapdhc.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
mapdh.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
mapdh.c ⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh.d ⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
mapdh.r ⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 )
mapdh.j ⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
mapdh.k ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
mapdhc.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
mapdh.mn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
mapdhcl.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdhe4.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdhe.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdh.xn ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
mapdh.yz ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
mapdh.eg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
mapdh.ee ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
Assertion mapdheq4lem ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 𝐸 ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdh.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 )
2 mapdh.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 mapdh.m ⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 mapdh.u ⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 mapdh.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
7 mapdh.s ⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 )
8 mapdhc.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
9 mapdh.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
10 mapdh.c ⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
11 mapdh.d ⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
12 mapdh.r ⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 )
13 mapdh.j ⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
14 mapdh.k ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
15 mapdhc.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
16 mapdh.mn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
17 mapdhcl.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
18 mapdhe4.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
19 mapdhe.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
20 mapdh.xn ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
21 mapdh.yz ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
22 mapdh.eg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
23 mapdh.ee ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
24 eqid ⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
25 3 5 14 dvhlmod ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod )
26 18 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
27 6 24 9 lspsncl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
28 25 26 27 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
29 19 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 )
30 6 24 9 lspsncl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
31 25 29 30 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
32 eqid ⊢ ( LSSum ‘ 𝑈 ) = ( LSSum ‘ 𝑈 )
33 24 32 lsmcl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
34 25 28 31 33 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
35 17 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
36 6 7 lmodvsubcl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
37 25 35 26 36 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
38 6 24 9 lspsncl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
39 25 37 38 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
40 6 7 lmodvsubcl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
41 25 35 29 40 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
42 6 24 9 lspsncl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
43 25 41 42 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
44 24 32 lsmcl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
45 25 39 43 44 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
46 3 4 5 24 14 34 45 mapdin ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) ∩ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) ) )
47 eqid ⊢ ( LSSum ‘ 𝐶 ) = ( LSSum ‘ 𝐶 )
48 3 4 5 24 32 10 47 14 28 31 mapdlsm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) )
49 3 5 14 dvhlvec ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec )
50 6 8 9 49 26 19 35 21 20 lspindp2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑍 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) )
51 50 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 51 mapdhcl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
53 22 52 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷 )
54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 53 51 mapdheq ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ) ) )
55 22 54 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ) )
56 55 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
57 6 8 9 49 18 29 35 21 20 lspindp1 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) )
58 57 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 29 58 mapdhcl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
60 23 59 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷 )
61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 60 58 mapdheq ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) ) )
62 23 61 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) )
63 62 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) )
64 56 63 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) )
65 48 64 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) )
66 3 4 5 24 32 10 47 14 39 43 mapdlsm ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) )
67 55 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) )
68 62 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) )
69 67 68 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) )
70 66 69 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) )
71 65 70 ineq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) ∩ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) ) )
72 46 71 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) ) )
73 6 7 8 32 9 49 35 20 21 18 19 baerlem3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 − 𝑍 ) } ) = ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) )
74 73 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) ) ) )
75 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝐶 ) = ( 0g ‘ 𝐶 )
76 3 10 14 lcdlvec ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ LVec )
77 3 4 5 6 9 10 11 13 14 15 16 35 26 53 56 29 60 63 20 mapdindp ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ( 𝐽 ‘ { 𝐺 , 𝐸 } ) )
78 3 4 5 6 9 10 11 13 14 53 56 26 29 60 63 21 mapdncol ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ≠ ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) )
79 3 4 5 6 9 10 11 13 14 53 56 8 75 18 mapdn0 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( 𝐷 ∖ { ( 0g ‘ 𝐶 ) } ) )
80 3 4 5 6 9 10 11 13 14 60 63 8 75 19 mapdn0 ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( 𝐷 ∖ { ( 0g ‘ 𝐶 ) } ) )
81 11 12 75 47 13 76 15 77 78 79 80 baerlem3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 𝐸 ) } ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) ) )
82 72 74 81 3eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 𝐸 ) } ) )