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Theorem mapdheq4lem

Description: Lemma for mapdheq4 . Part (4) in Baer p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdh.q 
|- Q = ( 0g ` C )
mapdh.i 
|- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h 
|- H = ( LHyp ` K )
mapdh.m 
|- M = ( ( mapd ` K ) ` W )
mapdh.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdh.v 
|- V = ( Base ` U )
mapdh.s 
|- .- = ( -g ` U )
mapdhc.o 
|- .0. = ( 0g ` U )
mapdh.n 
|- N = ( LSpan ` U )
mapdh.c 
|- C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
mapdh.d 
|- D = ( Base ` C )
mapdh.r 
|- R = ( -g ` C )
mapdh.j 
|- J = ( LSpan ` C )
mapdh.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdhc.f 
|- ( ph -> F e. D )
mapdh.mn 
|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
mapdhcl.x 
|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe4.y 
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe.z 
|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdh.xn 
|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
mapdh.yz 
|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
mapdh.eg 
|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
mapdh.ee 
|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
Assertion mapdheq4lem 
|- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) = ( J ` { ( G R E ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdh.q 
 |-  Q = ( 0g ` C )
2 mapdh.i 
 |-  I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 mapdh.m 
 |-  M = ( ( mapd ` K ) ` W )
5 mapdh.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6 mapdh.v 
 |-  V = ( Base ` U )
7 mapdh.s 
 |-  .- = ( -g ` U )
8 mapdhc.o 
 |-  .0. = ( 0g ` U )
9 mapdh.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
10 mapdh.c 
 |-  C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
11 mapdh.d 
 |-  D = ( Base ` C )
12 mapdh.r 
 |-  R = ( -g ` C )
13 mapdh.j 
 |-  J = ( LSpan ` C )
14 mapdh.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 mapdhc.f 
 |-  ( ph -> F e. D )
16 mapdh.mn 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17 mapdhcl.x 
 |-  ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
18 mapdhe4.y 
 |-  ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
19 mapdhe.z 
 |-  ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
20 mapdh.xn 
 |-  ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
21 mapdh.yz 
 |-  ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
22 mapdh.eg 
 |-  ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
23 mapdh.ee 
 |-  ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
24 eqid 
 |-  ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
25 3 5 14 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
26 18 eldifad 
 |-  ( ph -> Y e. V )
27 6 24 9 lspsncl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
28 25 26 27 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
29 19 eldifad 
 |-  ( ph -> Z e. V )
30 6 24 9 lspsncl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ Z e. V ) -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
31 25 29 30 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
32 eqid 
 |-  ( LSSum ` U ) = ( LSSum ` U )
33 24 32 lsmcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
34 25 28 31 33 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
35 17 eldifad 
 |-  ( ph -> X e. V )
36 6 7 lmodvsubcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) e. V )
37 25 35 26 36 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( X .- Y ) e. V )
38 6 24 9 lspsncl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( X .- Y ) e. V ) -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
39 25 37 38 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
40 6 7 lmodvsubcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ Z e. V ) -> ( X .- Z ) e. V )
41 25 35 29 40 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( X .- Z ) e. V )
42 6 24 9 lspsncl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( X .- Z ) e. V ) -> ( N ` { ( X .- Z ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
43 25 41 42 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { ( X .- Z ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
44 24 32 lsmcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( N ` { ( X .- Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( N ` { ( X .- Z ) } ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
45 25 39 43 44 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
46 3 4 5 24 14 34 45 mapdin 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) ) = ( ( M ` ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) ) i^i ( M ` ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) ) )
47 eqid 
 |-  ( LSSum ` C ) = ( LSSum ` C )
48 3 4 5 24 32 10 47 14 28 31 mapdlsm 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) ) = ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Z } ) ) ) )
49 3 5 14 dvhlvec 
 |-  ( ph -> U e. LVec )
50 6 8 9 49 26 19 35 21 20 lspindp2 
 |-  ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ -. Z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
51 50 simpld 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 51 mapdhcl 
 |-  ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D )
53 22 52 eqeltrrd 
 |-  ( ph -> G e. D )
54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 53 51 mapdheq 
 |-  ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) = G <-> ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { G } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( F R G ) } ) ) ) )
55 22 54 mpbid 
 |-  ( ph -> ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { G } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( F R G ) } ) ) )
56 55 simpld 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { G } ) )
57 6 8 9 49 18 29 35 21 20 lspindp1 
 |-  ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) /\ -. Y e. ( N ` { X , Z } ) ) )
58 57 simpld 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 29 58 mapdhcl 
 |-  ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D )
60 23 59 eqeltrrd 
 |-  ( ph -> E e. D )
61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 60 58 mapdheq 
 |-  ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Z >. ) = E <-> ( ( M ` ( N ` { Z } ) ) = ( J ` { E } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) = ( J ` { ( F R E ) } ) ) ) )
62 23 61 mpbid 
 |-  ( ph -> ( ( M ` ( N ` { Z } ) ) = ( J ` { E } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) = ( J ` { ( F R E ) } ) ) )
63 62 simpld 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { Z } ) ) = ( J ` { E } ) )
64 56 63 oveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Z } ) ) ) = ( ( J ` { G } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { E } ) ) )
65 48 64 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) ) = ( ( J ` { G } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { E } ) ) )
66 3 4 5 24 32 10 47 14 39 43 mapdlsm 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) = ( ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )
67 55 simprd 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( F R G ) } ) )
68 62 simprd 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) = ( J ` { ( F R E ) } ) )
69 67 68 oveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) = ( ( J ` { ( F R G ) } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { ( F R E ) } ) ) )
70 66 69 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) = ( ( J ` { ( F R G ) } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { ( F R E ) } ) ) )
71 65 70 ineq12d 
 |-  ( ph -> ( ( M ` ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) ) i^i ( M ` ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) ) = ( ( ( J ` { G } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { E } ) ) i^i ( ( J ` { ( F R G ) } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { ( F R E ) } ) ) ) )
72 46 71 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( M ` ( ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) ) = ( ( ( J ` { G } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { E } ) ) i^i ( ( J ` { ( F R G ) } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { ( F R E ) } ) ) ) )
73 6 7 8 32 9 49 35 20 21 18 19 baerlem3 
 |-  ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )
74 73 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) = ( M ` ( ( ( N ` { Y } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) ) )
75 eqid 
 |-  ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
76 3 10 14 lcdlvec 
 |-  ( ph -> C e. LVec )
77 3 4 5 6 9 10 11 13 14 15 16 35 26 53 56 29 60 63 20 mapdindp 
 |-  ( ph -> -. F e. ( J ` { G , E } ) )
78 3 4 5 6 9 10 11 13 14 53 56 26 29 60 63 21 mapdncol 
 |-  ( ph -> ( J ` { G } ) =/= ( J ` { E } ) )
79 3 4 5 6 9 10 11 13 14 53 56 8 75 18 mapdn0 
 |-  ( ph -> G e. ( D \ { ( 0g ` C ) } ) )
80 3 4 5 6 9 10 11 13 14 60 63 8 75 19 mapdn0 
 |-  ( ph -> E e. ( D \ { ( 0g ` C ) } ) )
81 11 12 75 47 13 76 15 77 78 79 80 baerlem3 
 |-  ( ph -> ( J ` { ( G R E ) } ) = ( ( ( J ` { G } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { E } ) ) i^i ( ( J ` { ( F R G ) } ) ( LSSum ` C ) ( J ` { ( F R E ) } ) ) ) )
82 72 74 81 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) = ( J ` { ( G R E ) } ) )