Metamath Proof Explorer


Theorem mhpsubg

Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023)

Ref Expression
Hypotheses mhpsubg.h 𝐻 = ( 𝐼 mHomP 𝑅 )
mhpsubg.p 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
mhpsubg.i ( 𝜑𝐼𝑉 )
mhpsubg.r ( 𝜑𝑅 ∈ Grp )
mhpsubg.n ( 𝜑𝑁 ∈ ℕ0 )
Assertion mhpsubg ( 𝜑 → ( 𝐻𝑁 ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mhpsubg.h 𝐻 = ( 𝐼 mHomP 𝑅 )
2 mhpsubg.p 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
3 mhpsubg.i ( 𝜑𝐼𝑉 )
4 mhpsubg.r ( 𝜑𝑅 ∈ Grp )
5 mhpsubg.n ( 𝜑𝑁 ∈ ℕ0 )
6 eqid ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 )
7 simpr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
8 1 2 6 7 mhpmpl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
9 8 ex ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) )
10 9 ssrdv ( 𝜑 → ( 𝐻𝑁 ) ⊆ ( Base ‘ 𝑃 ) )
11 eqid ( 0g𝑅 ) = ( 0g𝑅 )
12 eqid { ∈ ( ℕ0m 𝐼 ) ∣ ( “ ℕ ) ∈ Fin } = { ∈ ( ℕ0m 𝐼 ) ∣ ( “ ℕ ) ∈ Fin }
13 1 11 12 3 4 5 mhp0cl ( 𝜑 → ( { ∈ ( ℕ0m 𝐼 ) ∣ ( “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g𝑅 ) } ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
14 13 ne0d ( 𝜑 → ( 𝐻𝑁 ) ≠ ∅ )
15 eqid ( +g𝑃 ) = ( +g𝑃 )
16 4 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
17 16 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
18 simplr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
19 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
20 1 2 15 17 18 19 mhpaddcl ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
21 20 ralrimiva ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
22 eqid ( invg𝑃 ) = ( invg𝑃 )
23 1 2 22 16 7 mhpinvcl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → ( ( invg𝑃 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) )
24 21 23 jca ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ∧ ( ( invg𝑃 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) )
25 24 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ∧ ( ( invg𝑃 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) )
26 2 mplgrp ( ( 𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp ) → 𝑃 ∈ Grp )
27 3 4 26 syl2anc ( 𝜑𝑃 ∈ Grp )
28 6 15 22 issubg2 ( 𝑃 ∈ Grp → ( ( 𝐻𝑁 ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑃 ) ↔ ( ( 𝐻𝑁 ) ⊆ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝐻𝑁 ) ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ∧ ( ( invg𝑃 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ) ) )
29 27 28 syl ( 𝜑 → ( ( 𝐻𝑁 ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑃 ) ↔ ( ( 𝐻𝑁 ) ⊆ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝐻𝑁 ) ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐻𝑁 ) ( 𝑥 ( +g𝑃 ) 𝑦 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ∧ ( ( invg𝑃 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐻𝑁 ) ) ) ) )
30 10 14 25 29 mpbir3and ( 𝜑 → ( 𝐻𝑁 ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑃 ) )