Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nlmvscn.f |
⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
nlmvscn.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
nlmvscn.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 ) |
4 |
|
nlmvscn.d |
⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
nlmvscn.e |
⊢ 𝐸 = ( dist ‘ 𝐹 ) |
6 |
|
nlmvscn.n |
⊢ 𝑁 = ( norm ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
nlmvscn.a |
⊢ 𝐴 = ( norm ‘ 𝐹 ) |
8 |
|
nlmvscn.s |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) |
9 |
|
nlmvscn.t |
⊢ 𝑇 = ( ( 𝑅 / 2 ) / ( ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) + 1 ) ) |
10 |
|
nlmvscn.u |
⊢ 𝑈 = ( ( 𝑅 / 2 ) / ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ) |
11 |
|
nlmvscn.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod ) |
12 |
|
nlmvscn.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
13 |
|
nlmvscn.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾 ) |
14 |
|
nlmvscn.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
15 |
12
|
rphalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
16 |
1
|
nlmngp2 |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp ) |
17 |
11 16
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp ) |
18 |
3 7
|
nmcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
19 |
17 13 18
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
20 |
3 7
|
nmge0 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ) → 0 ≤ ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) ) |
21 |
17 13 20
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) ) |
22 |
19 21
|
ge0p1rpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
23 |
15 22
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 / 2 ) / ( ( 𝐴 ‘ 𝐵 ) + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
24 |
9 23
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
25 |
|
nlmngp |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp ) |
26 |
11 25
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp ) |
27 |
2 6
|
nmcl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
28 |
26 14 27
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
29 |
24
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
30 |
28 29
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
32 |
2 6
|
nmge0 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → 0 ≤ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) |
33 |
26 14 32
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) |
34 |
28 24
|
ltaddrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) < ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ) |
35 |
31 28 30 33 34
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ) |
36 |
30 35
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ∈ ℝ+ ) |
37 |
15 36
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 / 2 ) / ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) + 𝑇 ) ) ∈ ℝ+ ) |
38 |
10 37
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+ ) |
39 |
24 38
|
ifcld |
⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∈ ℝ+ ) |
40 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ NrmMod ) |
41 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
42 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐾 ) |
43 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
44 |
|
simprll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐾 ) |
45 |
|
simprlr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑉 ) |
46 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ NrmGrp ) |
47 |
|
ngpms |
⊢ ( 𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp ) |
48 |
46 47
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ MetSp ) |
49 |
3 5
|
mscl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
50 |
48 42 44 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
51 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∈ ℝ+ ) |
52 |
51
|
rpred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∈ ℝ ) |
53 |
38
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ ) |
54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ ℝ ) |
55 |
|
simprrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) |
56 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
57 |
|
min2 |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ≤ 𝑈 ) |
58 |
56 54 57
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ≤ 𝑈 ) |
59 |
50 52 54 55 58
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑈 ) |
60 |
|
ngpms |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp ) |
61 |
26 60
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ MetSp ) |
63 |
2 4
|
mscl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
64 |
62 43 45 63
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
65 |
|
simprrr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) |
66 |
|
min1 |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ≤ 𝑇 ) |
67 |
56 54 66
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ≤ 𝑇 ) |
68 |
64 52 56 65 67
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑇 ) |
69 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 41 42 43 44 45 59 68
|
nlmvscnlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) |
70 |
69
|
expr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) |
71 |
70
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) |
72 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑟 = if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) → ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) |
73 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑟 = if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) → ( ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ↔ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) |
74 |
72 73
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑟 = if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) → ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ) ↔ ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) ) ) |
75 |
74
|
imbi1d |
⊢ ( 𝑟 = if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) → ( ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ↔ ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) ) |
76 |
75
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑟 = if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) ) |
77 |
76
|
rspcev |
⊢ ( ( if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < if ( 𝑇 ≤ 𝑈 , 𝑇 , 𝑈 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) |
78 |
39 71 77
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝐵 𝐸 𝑥 ) < 𝑟 ∧ ( 𝑋 𝐷 𝑦 ) < 𝑟 ) → ( ( 𝐵 · 𝑋 ) 𝐷 ( 𝑥 · 𝑦 ) ) < 𝑅 ) ) |