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Theorem nlmvscnlem1

Description: Lemma for nlmvscn . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses nlmvscn.f F = Scalar W
nlmvscn.v V = Base W
nlmvscn.k K = Base F
nlmvscn.d D = dist W
nlmvscn.e E = dist F
nlmvscn.n N = norm W
nlmvscn.a A = norm F
nlmvscn.s · ˙ = W
nlmvscn.t T = R 2 A B + 1
nlmvscn.u U = R 2 N X + T
nlmvscn.w φ W NrmMod
nlmvscn.r φ R +
nlmvscn.b φ B K
nlmvscn.x φ X V
Assertion nlmvscnlem1 φ r + x K y V B E x < r X D y < r B · ˙ X D x · ˙ y < R

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nlmvscn.f F = Scalar W
2 nlmvscn.v V = Base W
3 nlmvscn.k K = Base F
4 nlmvscn.d D = dist W
5 nlmvscn.e E = dist F
6 nlmvscn.n N = norm W
7 nlmvscn.a A = norm F
8 nlmvscn.s · ˙ = W
9 nlmvscn.t T = R 2 A B + 1
10 nlmvscn.u U = R 2 N X + T
11 nlmvscn.w φ W NrmMod
12 nlmvscn.r φ R +
13 nlmvscn.b φ B K
14 nlmvscn.x φ X V
15 12 rphalfcld φ R 2 +
16 1 nlmngp2 W NrmMod F NrmGrp
17 11 16 syl φ F NrmGrp
18 3 7 nmcl F NrmGrp B K A B
19 17 13 18 syl2anc φ A B
20 3 7 nmge0 F NrmGrp B K 0 A B
21 17 13 20 syl2anc φ 0 A B
22 19 21 ge0p1rpd φ A B + 1 +
23 15 22 rpdivcld φ R 2 A B + 1 +
24 9 23 eqeltrid φ T +
25 nlmngp W NrmMod W NrmGrp
26 11 25 syl φ W NrmGrp
27 2 6 nmcl W NrmGrp X V N X
28 26 14 27 syl2anc φ N X
29 24 rpred φ T
30 28 29 readdcld φ N X + T
31 0red φ 0
32 2 6 nmge0 W NrmGrp X V 0 N X
33 26 14 32 syl2anc φ 0 N X
34 28 24 ltaddrpd φ N X < N X + T
35 31 28 30 33 34 lelttrd φ 0 < N X + T
36 30 35 elrpd φ N X + T +
37 15 36 rpdivcld φ R 2 N X + T +
38 10 37 eqeltrid φ U +
39 24 38 ifcld φ if T U T U +
40 11 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U W NrmMod
41 12 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U R +
42 13 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B K
43 14 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U X V
44 simprll φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U x K
45 simprlr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U y V
46 17 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U F NrmGrp
47 ngpms F NrmGrp F MetSp
48 46 47 syl φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U F MetSp
49 3 5 mscl F MetSp B K x K B E x
50 48 42 44 49 syl3anc φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B E x
51 39 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U if T U T U +
52 51 rpred φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U if T U T U
53 38 rpred φ U
54 53 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U U
55 simprrl φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B E x < if T U T U
56 29 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U T
57 min2 T U if T U T U U
58 56 54 57 syl2anc φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U if T U T U U
59 50 52 54 55 58 ltletrd φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B E x < U
60 ngpms W NrmGrp W MetSp
61 26 60 syl φ W MetSp
62 61 adantr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U W MetSp
63 2 4 mscl W MetSp X V y V X D y
64 62 43 45 63 syl3anc φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U X D y
65 simprrr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U X D y < if T U T U
66 min1 T U if T U T U T
67 56 54 66 syl2anc φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U if T U T U T
68 64 52 56 65 67 ltletrd φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U X D y < T
69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 41 42 43 44 45 59 68 nlmvscnlem2 φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R
70 69 expr φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R
71 70 ralrimivva φ x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R
72 breq2 r = if T U T U B E x < r B E x < if T U T U
73 breq2 r = if T U T U X D y < r X D y < if T U T U
74 72 73 anbi12d r = if T U T U B E x < r X D y < r B E x < if T U T U X D y < if T U T U
75 74 imbi1d r = if T U T U B E x < r X D y < r B · ˙ X D x · ˙ y < R B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R
76 75 2ralbidv r = if T U T U x K y V B E x < r X D y < r B · ˙ X D x · ˙ y < R x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R
77 76 rspcev if T U T U + x K y V B E x < if T U T U X D y < if T U T U B · ˙ X D x · ˙ y < R r + x K y V B E x < r X D y < r B · ˙ X D x · ˙ y < R
78 39 71 77 syl2anc φ r + x K y V B E x < r X D y < r B · ˙ X D x · ˙ y < R