Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
β’ ( iEdg β πΊ ) = ( iEdg β πΊ ) |
2 |
1
|
wlkf |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) |
3 |
2
|
adantr |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) |
4 |
|
pfxcl |
β’ ( πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ prefix πΏ ) β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( πΉ prefix πΏ ) β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) |
6 |
|
eqid |
β’ ( Vtx β πΊ ) = ( Vtx β πΊ ) |
7 |
6
|
wlkp |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β π : ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) |
8 |
7
|
adantr |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β π : ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) |
9 |
|
elfzuz3 |
β’ ( πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) β ( β― β πΉ ) β ( β€β₯ β πΏ ) ) |
10 |
|
fzss2 |
β’ ( ( β― β πΉ ) β ( β€β₯ β πΏ ) β ( 0 ... πΏ ) β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
β’ ( πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) β ( 0 ... πΏ ) β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) |
12 |
11
|
adantl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ... πΏ ) β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) |
13 |
8 12
|
fssresd |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) : ( 0 ... πΏ ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) |
14 |
|
pfxlen |
β’ ( ( πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) = πΏ ) |
15 |
2 14
|
sylan |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) = πΏ ) |
16 |
15
|
oveq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) = ( 0 ... πΏ ) ) |
17 |
16
|
feq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) β ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) : ( 0 ... πΏ ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) ) |
18 |
13 17
|
mpbird |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) |
19 |
6
|
wlkpwrd |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β π β Word ( Vtx β πΊ ) ) |
20 |
|
fzp1elp1 |
β’ ( πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) β ( πΏ + 1 ) β ( 0 ... ( ( β― β πΉ ) + 1 ) ) ) |
21 |
20
|
adantl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( πΏ + 1 ) β ( 0 ... ( ( β― β πΉ ) + 1 ) ) ) |
22 |
|
wlklenvp1 |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β ( β― β π ) = ( ( β― β πΉ ) + 1 ) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β ( 0 ... ( β― β π ) ) = ( 0 ... ( ( β― β πΉ ) + 1 ) ) ) |
24 |
23
|
adantr |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ... ( β― β π ) ) = ( 0 ... ( ( β― β πΉ ) + 1 ) ) ) |
25 |
21 24
|
eleqtrrd |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( πΏ + 1 ) β ( 0 ... ( β― β π ) ) ) |
26 |
|
pfxres |
β’ ( ( π β Word ( Vtx β πΊ ) β§ ( πΏ + 1 ) β ( 0 ... ( β― β π ) ) ) β ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) = ( π βΎ ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) ) |
27 |
19 25 26
|
syl2an2r |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) = ( π βΎ ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) ) |
28 |
|
elfzelz |
β’ ( πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) β πΏ β β€ ) |
29 |
|
fzval3 |
β’ ( πΏ β β€ β ( 0 ... πΏ ) = ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
β’ ( πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) β ( 0 ... πΏ ) = ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) |
31 |
30
|
adantl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ... πΏ ) = ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) |
32 |
31
|
reseq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) = ( π βΎ ( 0 ..^ ( πΏ + 1 ) ) ) ) |
33 |
27 32
|
eqtr4d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) = ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) ) |
34 |
33
|
feq1d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) β ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) ) |
35 |
18 34
|
mpbird |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) ) |
36 |
6 1
|
wlkprop |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β ( πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) β§ π : ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) β§ β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
simp3d |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) ) |
38 |
37
|
adantr |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) ) |
39 |
38
|
adantr |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) ) |
40 |
15
|
oveq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) = ( 0 ..^ πΏ ) ) |
41 |
40
|
eleq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β π β ( 0 ..^ πΏ ) ) ) |
42 |
33
|
fveq1d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β π ) ) |
43 |
42
|
adantr |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β π ) ) |
44 |
|
fzossfz |
β’ ( 0 ..^ πΏ ) β ( 0 ... πΏ ) |
45 |
44
|
a1i |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ..^ πΏ ) β ( 0 ... πΏ ) ) |
46 |
45
|
sselda |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β π β ( 0 ... πΏ ) ) |
47 |
46
|
fvresd |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β π ) = ( π β π ) ) |
48 |
43 47
|
eqtr2d |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) ) |
49 |
33
|
fveq1d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) = ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β ( π + 1 ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) = ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β ( π + 1 ) ) ) |
51 |
|
fzofzp1 |
β’ ( π β ( 0 ..^ πΏ ) β ( π + 1 ) β ( 0 ... πΏ ) ) |
52 |
51
|
adantl |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( π + 1 ) β ( 0 ... πΏ ) ) |
53 |
52
|
fvresd |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( π βΎ ( 0 ... πΏ ) ) β ( π + 1 ) ) = ( π β ( π + 1 ) ) ) |
54 |
50 53
|
eqtr2d |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) |
55 |
48 54
|
jca |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) |
56 |
55
|
ex |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π β ( 0 ..^ πΏ ) β ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) ) |
57 |
41 56
|
sylbid |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) ) |
58 |
57
|
imp |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) |
59 |
3
|
ancli |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) ) |
60 |
|
simpr |
β’ ( ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β π β ( 0 ..^ πΏ ) ) |
61 |
60
|
fvresd |
β’ ( ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) = ( πΉ β π ) ) |
62 |
61
|
fveq2d |
β’ ( ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) |
63 |
59 62
|
sylan |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) |
64 |
63
|
eqcomd |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ πΏ ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) ) |
65 |
64
|
ex |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π β ( 0 ..^ πΏ ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) ) ) |
66 |
41 65
|
sylbid |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) ) ) |
67 |
66
|
imp |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) ) |
68 |
|
simplr |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) |
69 |
|
pfxres |
β’ ( ( πΉ β Word dom ( iEdg β πΊ ) β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( πΉ prefix πΏ ) = ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) ) |
70 |
3 68 69
|
syl2an2r |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( πΉ prefix πΏ ) = ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) ) |
71 |
70
|
fveq1d |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) = ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) |
72 |
71
|
fveq2d |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ βΎ ( 0 ..^ πΏ ) ) β π ) ) ) |
73 |
67 72
|
eqtr4d |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) |
74 |
58 73
|
jca |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) |
75 |
9
|
adantl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( β― β πΉ ) β ( β€β₯ β πΏ ) ) |
76 |
15
|
fveq2d |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( β€β₯ β ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) = ( β€β₯ β πΏ ) ) |
77 |
75 76
|
eleqtrrd |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( β― β πΉ ) β ( β€β₯ β ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) |
78 |
|
fzoss2 |
β’ ( ( β― β πΉ ) β ( β€β₯ β ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) ) |
79 |
77 78
|
syl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) ) |
80 |
79
|
sselda |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β π β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) ) |
81 |
|
wkslem1 |
β’ ( π₯ = π β ( if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) β if- ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } , { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
rspcv |
β’ ( π β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) β ( β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) β if- ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } , { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) ) ) |
83 |
80 82
|
syl |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) β if- ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } , { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) ) ) |
84 |
|
eqeq12 |
β’ ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) |
85 |
84
|
adantr |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) β ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) ) |
86 |
|
simpr |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) |
87 |
|
sneq |
β’ ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β { ( π β π ) } = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } ) |
88 |
87
|
adantr |
β’ ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β { ( π β π ) } = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } ) |
89 |
88
|
adantr |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β { ( π β π ) } = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } ) |
90 |
86 89
|
eqeq12d |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } ) ) |
91 |
|
preq12 |
β’ ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } ) |
92 |
91
|
adantr |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } ) |
93 |
92 86
|
sseq12d |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) β { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) |
94 |
85 90 93
|
ifpbi123d |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( if- ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } , { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) β if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) ) |
95 |
94
|
biimpd |
β’ ( ( ( ( π β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) β§ ( π β ( π + 1 ) ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) ) β§ ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) β ( if- ( ( π β π ) = ( π β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) = { ( π β π ) } , { ( π β π ) , ( π β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π ) ) ) β if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) ) |
96 |
74 83 95
|
sylsyld |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β ( β π₯ β ( 0 ..^ ( β― β πΉ ) ) if- ( ( π β π₯ ) = ( π β ( π₯ + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) = { ( π β π₯ ) } , { ( π β π₯ ) , ( π β ( π₯ + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( πΉ β π₯ ) ) ) β if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) ) |
97 |
39 96
|
mpd |
β’ ( ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β§ π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) ) β if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) |
98 |
97
|
ralrimiva |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β β π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) |
99 |
|
wlkv |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β ( πΊ β V β§ πΉ β V β§ π β V ) ) |
100 |
99
|
simp1d |
β’ ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β πΊ β V ) |
101 |
100
|
adantr |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β πΊ β V ) |
102 |
6 1
|
iswlkg |
β’ ( πΊ β V β ( ( πΉ prefix πΏ ) ( Walks β πΊ ) ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β Word dom ( iEdg β πΊ ) β§ ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) β§ β π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) ) ) |
103 |
101 102
|
syl |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) ( Walks β πΊ ) ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β Word dom ( iEdg β πΊ ) β§ ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) : ( 0 ... ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) βΆ ( Vtx β πΊ ) β§ β π β ( 0 ..^ ( β― β ( πΉ prefix πΏ ) ) ) if- ( ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) = ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) , ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) = { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) } , { ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β π ) , ( ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) β ( π + 1 ) ) } β ( ( iEdg β πΊ ) β ( ( πΉ prefix πΏ ) β π ) ) ) ) ) ) |
104 |
5 35 98 103
|
mpbir3and |
β’ ( ( πΉ ( Walks β πΊ ) π β§ πΏ β ( 0 ... ( β― β πΉ ) ) ) β ( πΉ prefix πΏ ) ( Walks β πΊ ) ( π prefix ( πΏ + 1 ) ) ) |