Theorem psrmulcllem

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
	psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
	psrmulcl.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑆 )
	psrmulcl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	psrmulcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	psrmulcl.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
	psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin }
Assertion	psrmulcllem	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
2		psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
3		psrmulcl.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑆 )
4		psrmulcl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
5		psrmulcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		psrmulcl.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7		psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin }
8		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
9		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
10	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ Ring )
11		ringcmn	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
12	10 11	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
13		reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer
14	13 1 2	elbasov	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ) )
15	5 14	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ) )
16	15	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V )
17	7	psrbaglefi	⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ∈ Fin )
18	16 17	sylan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ∈ Fin )
19	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑅 ∈ Ring )
20	1 8 7 2 5	psrelbas	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
21	20	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑋 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
22		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } )
23		breq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘 ) )
24	23	elrab	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘 ) )
25	22 24	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘 ) )
26	25	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
27	21 26	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
28	1 8 7 2 6	psrelbas	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
29	28	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑌 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
30	16	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝐼 ∈ V )
31		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑘 ∈ 𝐷 )
32	7	psrbagf	⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → 𝑥 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
33	30 26 32	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑥 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
34	25	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑘 )
35	7	psrbagcon	⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 : 𝐼 ⟶ ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ∘r ≤ 𝑘 ) )
36	30 31 33 34 35	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ∘r ≤ 𝑘 ) )
37	36	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ∈ 𝐷 )
38	29 37	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
39		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
40	8 39	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
41	19 27 38 40	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
42	41	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) : { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
43		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
44	42 18 43	fdmfifsupp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
45	8 9 12 18 42 44	gsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
46	45	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
47		fvex	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) ∈ V
48		ovex	⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∈ V
49	7 48	rabex2	⊢ 𝐷 ∈ V
50	47 49	elmap	⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
51	46 50	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) )
52	1 2 39 3 7 5 6	psrmulfval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
53	1 8 7 2 16	psrbas	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) )
54	51 52 53	3eltr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )