Theorem psrmulcllem

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
	psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
	psrmulcl.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑆 )
	psrmulcl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	psrmulcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	psrmulcl.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
	psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin }
Assertion	psrmulcllem	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
2		psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
3		psrmulcl.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑆 )
4		psrmulcl.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
5		psrmulcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		psrmulcl.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7		psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin }
8		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
9	1 8 7 2 5	psrelbas	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
10	1 8 7 2 6	psrelbas	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
11	7 4 9 10	rhmpsrlem2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
12	11	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
13		fvex	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) ∈ V
14		ovex	⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∈ V
15	7 14	rabex2	⊢ 𝐷 ∈ V
16	13 15	elmap	⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
17	12 16	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) )
18		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
19	1 2 18 3 7 5 6	psrmulfval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘 } ↦ ( ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑌 ‘ ( 𝑘 ∘f − 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
20		reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer
21	20 1 2	elbasov	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ) )
22	5 21	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ) )
23	22	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V )
24	1 8 7 2 23	psrbas	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) )
25	17 19 24	3eltr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )