Theorem smatvscl

Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. ( matvscl analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	smatvscl.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
	smatvscl.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	smatvscl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑁 ScMat 𝑅 )
	smatvscl.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
Assertion	smatvscl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smatvscl.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		smatvscl.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
3		smatvscl.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑁 ScMat 𝑅 )
4		smatvscl.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
5		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
6		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐴 ) = ( Base ‘ 𝐴 )
7		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 1r ‘ 𝐴 )
8	5 2 6 7 4 3	scmatel	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑋 ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) ) )
9		oveq2	⊢ ( 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) = ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) )
10	9	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) = ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) )
11	2	matlmod	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ LMod )
12	11	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝐴 ∈ LMod )
13	2	matsca2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝐴 ) )
14	13	fveq2d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
15	1 14	eqtrid	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐾 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
16	15	eleq2d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) ) )
17	16	biimpa	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) → 𝐶 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
18	17	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝐶 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
19	13	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝐴 ) )
20	19	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
21	20	eleq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ↔ 𝑐 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) ) )
22	21	biimpa	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) )
23	2	matring	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ Ring )
24	6 7	ringidcl	⊢ ( 𝐴 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
25	23 24	syl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
26	25	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
27		eqid	⊢ ( Scalar ‘ 𝐴 ) = ( Scalar ‘ 𝐴 )
28		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) )
29		eqid	⊢ ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) = ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) )
30	6 27 4 28 29	lmodvsass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ LMod ∧ ( 𝐶 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) )
31	12 18 22 26 30	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) )
32	31	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) )
33		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) )
34	13	adantr	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝐴 ) )
35	34	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) → ( Scalar ‘ 𝐴 ) = 𝑅 )
36	35	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( Scalar ‘ 𝐴 ) = 𝑅 )
37	36	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) = ( .r ‘ 𝑅 ) )
38	37	oveqd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) = ( 𝐶 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑐 ) )
39		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
40		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝐶 ∈ 𝐾 )
41	1	eqcomi	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = 𝐾
42	41	eleq2i	⊢ ( 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ↔ 𝑐 ∈ 𝐾 )
43	42	biimpi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) → 𝑐 ∈ 𝐾 )
44	43	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑐 ∈ 𝐾 )
45		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
46	1 45	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐶 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
47	39 40 44 46	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐶 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
48	38 47	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
49	1 2 6 4	matvscl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∈ 𝐾 ∧ ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
50	33 48 26 49	syl12anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
51		oveq1	⊢ ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) = 𝑒 → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) )
52	51	eqcoms	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) )
53	52	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑒 = ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) )
54	48 53	rspcedeq2vd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ∃ 𝑒 ∈ 𝐾 ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) )
55	1 2 6 7 4 3	scmatel	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝐾 ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) ) )
56	55	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝐾 ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) ) )
57	50 54 56	mpbir2and	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐶 ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝐴 ) ) 𝑐 ) ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 )
58	32 57	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ 𝑆 )
59	58	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∗ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ 𝑆 )
60	10 59	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 )
61	60	rexlimdva2	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) )
62	61	expimpd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) )
63	62	ex	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝐶 ∈ 𝐾 → ( ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) ) )
64	63	com23	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑋 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 ∈ 𝐾 → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) ) )
65	8 64	sylbid	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝐶 ∈ 𝐾 → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) ) )
66	65	com23	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝐶 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 ) ) )
67	66	imp32	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝐶 ∗ 𝑋 ) ∈ 𝑆 )