Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elznn0nn |
โข ( ๐ โ โค โ ( ๐ โ โ0 โจ ( ๐ โ โ โง - ๐ โ โ ) ) ) |
2 |
|
elnn0 |
โข ( ๐ โ โ0 โ ( ๐ โ โ โจ ๐ = 0 ) ) |
3 |
|
elnn1uz2 |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ = 1 โจ ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) ) ) |
4 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = 1 โ ( ๐ ยท ๐ด ) = ( 1 ยท ๐ด ) ) |
5 |
4
|
adantr |
โข ( ( ๐ = 1 โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ๐ ยท ๐ด ) = ( 1 ยท ๐ด ) ) |
6 |
5
|
eqeq1d |
โข ( ( ๐ = 1 โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ต ) ) |
7 |
|
prmz |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โค ) |
8 |
7
|
zcnd |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โ ) |
9 |
8
|
mulid2d |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ด ) |
10 |
9
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ด ) |
11 |
10
|
eqeq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
12 |
11
|
biimpd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
13 |
12
|
adantl |
โข ( ( ๐ = 1 โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ( 1 ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
14 |
6 13
|
sylbid |
โข ( ( ๐ = 1 โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
15 |
14
|
ex |
โข ( ๐ = 1 โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
16 |
|
prmuz2 |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ ( โคโฅ โ 2 ) ) |
17 |
16
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด โ ( โคโฅ โ 2 ) ) |
18 |
|
nprm |
โข ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ๐ด โ ( โคโฅ โ 2 ) ) โ ยฌ ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ ) |
19 |
17 18
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ยฌ ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ ) |
20 |
|
eleq1 |
โข ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ โ ๐ต โ โ ) ) |
21 |
20
|
notbid |
โข ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ยฌ ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ โ ยฌ ๐ต โ โ ) ) |
22 |
|
pm2.24 |
โข ( ๐ต โ โ โ ( ยฌ ๐ต โ โ โ ๐ด = ๐ต ) ) |
23 |
22
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ยฌ ๐ต โ โ โ ๐ด = ๐ต ) ) |
24 |
23
|
adantl |
โข ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ยฌ ๐ต โ โ โ ๐ด = ๐ต ) ) |
25 |
24
|
com12 |
โข ( ยฌ ๐ต โ โ โ ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
26 |
21 25
|
syl6bi |
โข ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ยฌ ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ โ ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
27 |
26
|
com3l |
โข ( ยฌ ( ๐ ยท ๐ด ) โ โ โ ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
28 |
19 27
|
mpcom |
โข ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
29 |
28
|
ex |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
30 |
15 29
|
jaoi |
โข ( ( ๐ = 1 โจ ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
31 |
3 30
|
sylbi |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
32 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = 0 โ ( ๐ ยท ๐ด ) = ( 0 ยท ๐ด ) ) |
33 |
32
|
eqeq1d |
โข ( ๐ = 0 โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( 0 ยท ๐ด ) = ๐ต ) ) |
34 |
|
prmnn |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โ ) |
35 |
34
|
nnred |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โ ) |
36 |
|
mul02lem2 |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 0 ยท ๐ด ) = 0 ) |
37 |
35 36
|
syl |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 0 ยท ๐ด ) = 0 ) |
38 |
37
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 ยท ๐ด ) = 0 ) |
39 |
38
|
eqeq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 ยท ๐ด ) = ๐ต โ 0 = ๐ต ) ) |
40 |
|
prmnn |
โข ( ๐ต โ โ โ ๐ต โ โ ) |
41 |
|
elnnne0 |
โข ( ๐ต โ โ โ ( ๐ต โ โ0 โง ๐ต โ 0 ) ) |
42 |
|
eqneqall |
โข ( ๐ต = 0 โ ( ๐ต โ 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
43 |
42
|
eqcoms |
โข ( 0 = ๐ต โ ( ๐ต โ 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
44 |
43
|
com12 |
โข ( ๐ต โ 0 โ ( 0 = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
45 |
44
|
adantl |
โข ( ( ๐ต โ โ0 โง ๐ต โ 0 ) โ ( 0 = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
46 |
41 45
|
sylbi |
โข ( ๐ต โ โ โ ( 0 = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
47 |
40 46
|
syl |
โข ( ๐ต โ โ โ ( 0 = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
48 |
47
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
49 |
39 48
|
sylbid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |
50 |
49
|
com12 |
โข ( ( 0 ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
51 |
33 50
|
syl6bi |
โข ( ๐ = 0 โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
52 |
51
|
com23 |
โข ( ๐ = 0 โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
53 |
31 52
|
jaoi |
โข ( ( ๐ โ โ โจ ๐ = 0 ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
54 |
2 53
|
sylbi |
โข ( ๐ โ โ0 โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
55 |
|
elnnz |
โข ( - ๐ โ โ โ ( - ๐ โ โค โง 0 < - ๐ ) ) |
56 |
|
lt0neg1 |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ < 0 โ 0 < - ๐ ) ) |
57 |
34
|
nngt0d |
โข ( ๐ด โ โ โ 0 < ๐ด ) |
58 |
57
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ 0 < ๐ด ) |
59 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) โ ๐ < 0 ) |
60 |
58 59
|
anim12ci |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ( ๐ < 0 โง 0 < ๐ด ) ) |
61 |
60
|
orcd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ( ( ๐ < 0 โง 0 < ๐ด ) โจ ( 0 < ๐ โง ๐ด < 0 ) ) ) |
62 |
|
simprl |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ๐ โ โ ) |
63 |
35
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด โ โ ) |
64 |
63
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ๐ด โ โ ) |
65 |
62 64
|
mul2lt0bi |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ( ( ๐ < 0 โง 0 < ๐ด ) โจ ( 0 < ๐ โง ๐ด < 0 ) ) ) ) |
66 |
61 65
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) ) โ ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 ) |
67 |
66
|
ex |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) โ ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 ) ) |
68 |
|
breq1 |
โข ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ๐ต < 0 ) ) |
69 |
68
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ๐ต < 0 ) ) |
70 |
|
nnnn0 |
โข ( ๐ต โ โ โ ๐ต โ โ0 ) |
71 |
|
nn0nlt0 |
โข ( ๐ต โ โ0 โ ยฌ ๐ต < 0 ) |
72 |
71
|
pm2.21d |
โข ( ๐ต โ โ0 โ ( ๐ต < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
73 |
70 72
|
syl |
โข ( ๐ต โ โ โ ( ๐ต < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
74 |
40 73
|
syl |
โข ( ๐ต โ โ โ ( ๐ต < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
75 |
74
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ๐ต < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
76 |
75
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต ) โ ( ๐ต < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
77 |
69 76
|
sylbid |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) |
78 |
77
|
ex |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
79 |
78
|
com23 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) < 0 โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
80 |
67 79
|
syldc |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ < 0 ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
81 |
80
|
ex |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ < 0 โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) ) |
82 |
56 81
|
sylbird |
โข ( ๐ โ โ โ ( 0 < - ๐ โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) ) |
83 |
82
|
adantld |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( - ๐ โ โค โง 0 < - ๐ ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) ) |
84 |
55 83
|
syl5bi |
โข ( ๐ โ โ โ ( - ๐ โ โ โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) ) |
85 |
84
|
imp |
โข ( ( ๐ โ โ โง - ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
86 |
54 85
|
jaoi |
โข ( ( ๐ โ โ0 โจ ( ๐ โ โ โง - ๐ โ โ ) ) โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
87 |
1 86
|
sylbi |
โข ( ๐ โ โค โ ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) ) |
88 |
87
|
3impib |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ๐ ยท ๐ด ) = ๐ต โ ๐ด = ๐ต ) ) |