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Theorem ztprmneprm

Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019)

Ref Expression
Assertion ztprmneprm ( ( 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elznn0nn ( 𝑍 ∈ ℤ ↔ ( 𝑍 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ - 𝑍 ∈ ℕ ) ) )
2 elnn0 ( 𝑍 ∈ ℕ0 ↔ ( 𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0 ) )
3 elnn1uz2 ( 𝑍 ∈ ℕ ↔ ( 𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ) )
4 oveq1 ( 𝑍 = 1 → ( 𝑍 · 𝐴 ) = ( 1 · 𝐴 ) )
5 4 adantr ( ( 𝑍 = 1 ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( 𝑍 · 𝐴 ) = ( 1 · 𝐴 ) )
6 5 eqeq1d ( ( 𝑍 = 1 ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 ↔ ( 1 · 𝐴 ) = 𝐵 ) )
7 prmz ( 𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℤ )
8 7 zcnd ( 𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℂ )
9 8 mulid2d ( 𝐴 ∈ ℙ → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
10 9 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
11 10 eqeq1d ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 1 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
12 11 biimpd ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 1 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
13 12 adantl ( ( 𝑍 = 1 ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ( 1 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
14 6 13 sylbid ( ( 𝑍 = 1 ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
15 14 ex ( 𝑍 = 1 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
16 prmuz2 ( 𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
17 16 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
18 nprm ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ) → ¬ ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ )
19 17 18 sylan2 ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ¬ ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ )
20 eleq1 ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ ↔ 𝐵 ∈ ℙ ) )
21 20 notbid ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ¬ ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ ) )
22 pm2.24 ( 𝐵 ∈ ℙ → ( ¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵 ) )
23 22 adantl ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵 ) )
24 23 adantl ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵 ) )
25 24 com12 ( ¬ 𝐵 ∈ ℙ → ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → 𝐴 = 𝐵 ) )
26 21 25 syl6bi ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ¬ ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ → ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → 𝐴 = 𝐵 ) ) )
27 26 com3l ( ¬ ( 𝑍 · 𝐴 ) ∈ ℙ → ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
28 19 27 mpcom ( ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
29 28 ex ( 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
30 15 29 jaoi ( ( 𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
31 3 30 sylbi ( 𝑍 ∈ ℕ → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
32 oveq1 ( 𝑍 = 0 → ( 𝑍 · 𝐴 ) = ( 0 · 𝐴 ) )
33 32 eqeq1d ( 𝑍 = 0 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 ↔ ( 0 · 𝐴 ) = 𝐵 ) )
34 prmnn ( 𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ )
35 34 nnred ( 𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℝ )
36 mul02lem2 ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 · 𝐴 ) = 0 )
37 35 36 syl ( 𝐴 ∈ ℙ → ( 0 · 𝐴 ) = 0 )
38 37 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( 0 · 𝐴 ) = 0 )
39 38 eqeq1d ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 0 · 𝐴 ) = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵 ) )
40 prmnn ( 𝐵 ∈ ℙ → 𝐵 ∈ ℕ )
41 elnnne0 ( 𝐵 ∈ ℕ ↔ ( 𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0 ) )
42 eqneqall ( 𝐵 = 0 → ( 𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
43 42 eqcoms ( 0 = 𝐵 → ( 𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
44 43 com12 ( 𝐵 ≠ 0 → ( 0 = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
45 44 adantl ( ( 𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0 ) → ( 0 = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
46 41 45 sylbi ( 𝐵 ∈ ℕ → ( 0 = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
47 40 46 syl ( 𝐵 ∈ ℙ → ( 0 = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
48 47 adantl ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( 0 = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
49 39 48 sylbid ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 0 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )
50 49 com12 ( ( 0 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → 𝐴 = 𝐵 ) )
51 33 50 syl6bi ( 𝑍 = 0 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → 𝐴 = 𝐵 ) ) )
52 51 com23 ( 𝑍 = 0 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
53 31 52 jaoi ( ( 𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
54 2 53 sylbi ( 𝑍 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
55 elnnz ( - 𝑍 ∈ ℕ ↔ ( - 𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < - 𝑍 ) )
56 lt0neg1 ( 𝑍 ∈ ℝ → ( 𝑍 < 0 ↔ 0 < - 𝑍 ) )
57 34 nngt0d ( 𝐴 ∈ ℙ → 0 < 𝐴 )
58 57 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → 0 < 𝐴 )
59 simpr ( ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) → 𝑍 < 0 )
60 58 59 anim12ci ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → ( 𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴 ) )
61 60 orcd ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → ( ( 𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴 ) ∨ ( 0 < 𝑍𝐴 < 0 ) ) )
62 simprl ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → 𝑍 ∈ ℝ )
63 35 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
64 63 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
65 62 64 mul2lt0bi ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 ↔ ( ( 𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴 ) ∨ ( 0 < 𝑍𝐴 < 0 ) ) ) )
66 61 65 mpbird ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) ) → ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 )
67 66 ex ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) → ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 ) )
68 breq1 ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 ↔ 𝐵 < 0 ) )
69 68 adantl ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 ↔ 𝐵 < 0 ) )
70 nnnn0 ( 𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0 )
71 nn0nlt0 ( 𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐵 < 0 )
72 71 pm2.21d ( 𝐵 ∈ ℕ0 → ( 𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
73 70 72 syl ( 𝐵 ∈ ℕ → ( 𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
74 40 73 syl ( 𝐵 ∈ ℙ → ( 𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
75 74 adantl ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( 𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
76 75 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 ) → ( 𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
77 69 76 sylbid ( ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) )
78 77 ex ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 → 𝐴 = 𝐵 ) ) )
79 78 com23 ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) < 0 → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
80 67 79 syldc ( ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
81 80 ex ( 𝑍 ∈ ℝ → ( 𝑍 < 0 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) ) )
82 56 81 sylbird ( 𝑍 ∈ ℝ → ( 0 < - 𝑍 → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) ) )
83 82 adantld ( 𝑍 ∈ ℝ → ( ( - 𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < - 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) ) )
84 55 83 syl5bi ( 𝑍 ∈ ℝ → ( - 𝑍 ∈ ℕ → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) ) )
85 84 imp ( ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ - 𝑍 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
86 54 85 jaoi ( ( 𝑍 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝑍 ∈ ℝ ∧ - 𝑍 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
87 1 86 sylbi ( 𝑍 ∈ ℤ → ( ( 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) ) )
88 87 3impib ( ( 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑍 · 𝐴 ) = 𝐵𝐴 = 𝐵 ) )