Theorem imcld 13028

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1

Assertion

Ref	Expression
imcld

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2
2		imcl 12944	. 2
3	1, 2	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818  `cfv 5593  cc 9511  cr 9512  cim 12931

This theorem is referenced by:  rlimrecl  13403  resincl  13875  sin01bnd  13920  recld2  21319  mbfeqa  22050  mbfss  22053  mbfmulc2re  22055  mbfadd  22068  mbfmulc2  22070  mbflim  22075  mbfmul  22133  iblcn  22205  itgcnval  22206  itgre  22207  itgim  22208  iblneg  22209  itgneg  22210  ibladd  22227  itgadd  22231  iblabs  22235  itgmulc2  22240  aaliou2b  22737  efif1olem3  22931  eff1olem  22935  logimclad  22960  abslogimle  22961  logrnaddcl  22962  lognegb  22974  logcj  22991  efiarg  22992  cosargd  22993  argregt0  22995  argrege0  22996  argimgt0  22997  argimlt0  22998  logimul  22999  abslogle  23003  tanarg  23004  logcnlem2  23024  logcnlem3  23025  logcnlem4  23026  logcnlem5  23027  logcn  23028  dvloglem  23029  logf1o2  23031  efopnlem1  23037  efopnlem2  23038  cxpsqrtlem  23083  abscxpbnd  23127  ang180lem2  23142  lawcos  23148  isosctrlem1  23152  isosctrlem2  23153  asinneg  23217  asinsinlem  23222  atanlogaddlem  23244  atanlogsublem  23246  atanlogsub  23247  basellem3  23356  sqsscirc2  27891  ibladdnc  30072  itgaddnc  30075  iblabsnc  30079  iblmulc2nc  30080  itgmulc2nc  30083  bddiblnc  30085  ftc1anclem2  30091  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem8  30097  cntotbnd  30292  dstregt0  31463  sigarim  32068  isosctrlem1ALT  33734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934