Theorem infxpenc2lem1 8417

Description: Lemma for infxpenc2 8420. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxpenc2.1
infxpenc2.2
infxpenc2.3

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2lem1

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem infxpenc2lem1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpenc2.2	. . . 4
2	1	r19.21bi 2826	. . 3
3	2	impr 619	. 2
4		simpr 461	. . 3
5		infxpenc2.3	. . . . . 6
6		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
7		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
8		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
9	6, 7, 8	fvmpt 5956	. . . . . . . . 9
10	9	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
11		f1ofo 5828	. . . . . . . . . 10
12	11	ad2antll 728	. . . . . . . . 9
13		forn 5803	. . . . . . . . 9
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8
15	10, 14	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
16		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
17	16	a1ii 27	. . . . . . . . . 10
18		omelon 8084	. . . . . . . . . . . . . 14
19		1onn 7307	. . . . . . . . . . . . . 14
20		ondif2 7171	. . . . . . . . . . . . . 14
21	18, 19, 20	mpbir2an 920	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
23		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12
25		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12
27		oecan 7257	. . . . . . . . . . . 12
28	22, 24, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
29	28	ex 434	. . . . . . . . . 10
30	17, 29	dom2lem 7575	. . . . . . . . 9
31		f1f1orn 5832	. . . . . . . . 9
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . 8
33		simprl 756	. . . . . . . 8
34		f1ocnvfv 6184	. . . . . . . 8
35	32, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . 7
36	15, 35	mpd 15	. . . . . 6
37	5, 36	syl5eq 2510	. . . . 5
38	37	eleq1d 2526	. . . 4
39	37	oveq2d 6312	. . . . 5
40		f1oeq3 5814	. . . . 5
41	39, 40	syl 16	. . . 4
42	38, 41	anbi12d 710	. . 3
43	4, 42	mpbird 232	. 2
44	3, 43	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  e.cmpt 4510  con0 4883  `'ccnv 5003  rancrn 5005  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  c2o 7143  coe 7148

This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  8418  infxpenc2lem2OLD  8422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155