Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2 Unicode version

Theorem infxpenc2 8420
 Description: Existence form of infxpenc 8416. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 8413, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 8171 . 2
2 df-2o 7150 . . . . . . . 8
32oveq2i 6307 . . . . . . 7
4 omelon 8084 . . . . . . . 8
5 1on 7156 . . . . . . . 8
6 oesuc 7196 . . . . . . . 8
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . . 7
8 oe1 7212 . . . . . . . . 9
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8
109oveq1i 6306 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtri 2490 . . . . . 6
12 omxpen 7639 . . . . . . 7
134, 4, 12mp2an 672 . . . . . 6
1411, 13eqbrtri 4471 . . . . 5
15 xpomen 8414 . . . . 5
1614, 15entri 7589 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 bren 7545 . . 3
1917, 18sylib 196 . 2
20 eeanv 1988 . . 3
21 simpl 457 . . . . . 6
22 simprl 756 . . . . . . 7
23 sseq2 3525 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
25 f1oeq3 5814 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
29 f1oeq1 5812 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 f1oeq2 5813 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10
3427, 33syl5bb 257 . . . . . . . . 9
3523, 34imbi12d 320 . . . . . . . 8
3635cbvralv 3084 . . . . . . 7
3722, 36sylib 196 . . . . . 6
38 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
3938cbvmptv 4543 . . . . . . . 8
4039cnveqi 5182 . . . . . . 7
4140fveq1i 5872 . . . . . 6
42 2on 7157 . . . . . . . . . 10
43 peano1 6719 . . . . . . . . . . 11
44 oen0 7254 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . . . 10
464, 42, 45mp2an 672 . . . . . . . . 9
47 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
4847fveqf1o 6205 . . . . . . . . 9
4946, 43, 48mp3an23 1316 . . . . . . . 8
5049ad2antll 728 . . . . . . 7
5150simpld 459 . . . . . 6
5250simprd 463 . . . . . 6
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 8419 . . . . 5
5453ex 434 . . . 4
5554exlimdvv 1725 . . 3
5620, 55syl5bir 218 . 2
571, 19, 56mp2and 679 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {cpr 4031  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cid 4795   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  'ccnv 5003  rancrn 5005  |cres 5006  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   comu 7147   coe 7148   cen 7533 This theorem is referenced by:  pwfseq  9063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator