Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2 Unicode version

Theorem infxpenc2 7954
 Description: Existence form of infxpenc 7950. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 7947, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 7712 . 2
2 df-2o 6774 . . . . . . . 8
32oveq2i 6140 . . . . . . 7
4 omelon 7650 . . . . . . . 8
5 1on 6780 . . . . . . . 8
6 oesuc 6820 . . . . . . . 8
74, 5, 6mp2an 655 . . . . . . 7
8 oe1 6836 . . . . . . . . 9
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8
109oveq1i 6139 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtri 2467 . . . . . 6
12 omxpen 7259 . . . . . . 7
134, 4, 12mp2an 655 . . . . . 6
1411, 13eqbrtri 4262 . . . . 5
15 xpomen 7948 . . . . 5
1614, 15entri 7210 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 bren 7166 . . 3
1917, 18sylib 190 . 2
20 eeanv 1941 . . 3
21 simpl 445 . . . . . 6
22 simprl 734 . . . . . . 7
23 sseq2 3359 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6137 . . . . . . . . . . . 12
25 f1oeq3 5714 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726cbvrexv 2942 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . 13
29 f1oeq1 5712 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 f1oeq2 5713 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31bitrd 246 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidv 2733 . . . . . . . . . 10
3427, 33syl5bb 250 . . . . . . . . 9
3523, 34imbi12d 313 . . . . . . . 8
3635cbvralv 2941 . . . . . . 7
3722, 36sylib 190 . . . . . 6
38 oveq2 6137 . . . . . . . . 9
3938cbvmptv 4334 . . . . . . . 8
4039cnveqi 5089 . . . . . . 7
4140fveq1i 5776 . . . . . 6
42 2on 6781 . . . . . . . . . 10
43 peano1 4905 . . . . . . . . . . 11
44 oen0 6878 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpan2 654 . . . . . . . . . 10
464, 42, 45mp2an 655 . . . . . . . . 9
47 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
4847fveqf1o 6077 . . . . . . . . 9
4946, 43, 48mp3an23 1272 . . . . . . . 8
5049ad2antll 711 . . . . . . 7
5150simpld 447 . . . . . 6
5250simprd 451 . . . . . 6
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 7953 . . . . 5
5453ex 425 . . . 4
5554exlimdvv 1649 . . 3
5620, 55syl5bir 211 . 2
571, 19, 56mp2and 662 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713  \cdif 3306  u.cun 3307  C_wss 3309   c0 3616  {cpr 3842  <.cop 3844   class class class wbr 4243  e.cmpt 4301   cid 4534   con0 4622  succsuc 4624   com 4886  X.cxp 4917  'ccnv 4918  rancrn 4920  |cres 4921  o.ccom 4923  -1-1-onto->wf1o 5500  `cfv 5501  (class class class)co 6129   c1o 6766   c2o 6767   comu 6771   coe 6772   cen 7155 This theorem is referenced by:  pwfseq  8590 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-inf2 7645 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-se 4583  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-seqom 6754  df-1o 6773  df-2o 6774  df-oadd 6777  df-omul 6778  df-oexp 6779  df-er 6954  df-map 7069  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-oi 7528  df-cnf 7666  df-card 7877
 Copyright terms: Public domain W3C validator