MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2 Unicode version

Theorem infxpenc2 7895
Description: Existence form of infxpenc 7891. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 7888, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 7655 . 2
2 df-2o 6717 . . . . . . . 8
32oveq2i 6084 . . . . . . 7
4 omelon 7593 . . . . . . . 8
5 1on 6723 . . . . . . . 8
6 oesuc 6763 . . . . . . . 8
74, 5, 6mp2an 654 . . . . . . 7
8 oe1 6779 . . . . . . . . 9
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8
109oveq1i 6083 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtri 2459 . . . . . 6
12 omxpen 7202 . . . . . . 7
134, 4, 12mp2an 654 . . . . . 6
1411, 13eqbrtri 4223 . . . . 5
15 xpomen 7889 . . . . 5
1614, 15entri 7153 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 bren 7109 . . 3
1917, 18sylib 189 . 2
20 eeanv 1937 . . 3
21 simpl 444 . . . . . 6
22 simprl 733 . . . . . . 7
23 sseq2 3362 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
25 f1oeq3 5659 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726cbvrexv 2925 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
29 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 f1oeq2 5658 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31bitrd 245 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10
3427, 33syl5bb 249 . . . . . . . . 9
3523, 34imbi12d 312 . . . . . . . 8
3635cbvralv 2924 . . . . . . 7
3722, 36sylib 189 . . . . . 6
38 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
3938cbvmptv 4292 . . . . . . . 8
4039cnveqi 5039 . . . . . . 7
4140fveq1i 5721 . . . . . 6
42 2on 6724 . . . . . . . . . 10
43 peano1 4856 . . . . . . . . . . 11
44 oen0 6821 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpan2 653 . . . . . . . . . 10
464, 42, 45mp2an 654 . . . . . . . . 9
47 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
4847fveqf1o 6021 . . . . . . . . 9
4946, 43, 48mp3an23 1271 . . . . . . . 8
5049ad2antll 710 . . . . . . 7
5150simpld 446 . . . . . 6
5250simprd 450 . . . . . 6
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 7894 . . . . 5
5453ex 424 . . . 4
5554exlimdvv 1647 . . 3
5620, 55syl5bir 210 . 2
571, 19, 56mp2and 661 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 177  /\wa 359  E.wex 1550  =wceq 1652  e.wcel 1725  A.wral 2697  E.wrex 2698  \cdif 3309  u.cun 3310  C_wss 3312   c0 3620  {cpr 3807  <.cop 3809   class class class wbr 4204  e.cmpt 4258   cid 4485   con0 4573  succsuc 4575   com 4837  X.cxp 4868  `'ccnv 4869  rancrn 4871  |`cres 4872  o.ccom 4874  -1-1-onto->wf1o 5445  `cfv 5446  (class class class)co 6073   c1o 6709   c2o 6710   comu 6714   coe 6715   cen 7098
This theorem is referenced by:  pwfseq  8531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-cnf 7609  df-card 7818
  Copyright terms: Public domain W3C validator