Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc Unicode version

Theorem infxpenc 8416
 Description: A canonical version of infxpen 8413, by a completely different approach (although it uses infxpen 8413 via xpomen 8414). Using Cantor's normal form, we can show that respects equinumerosity (oef1o 8162), so that all the steps of ( ) ( ) (2 ) ( 2) can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on can be satisfied using cnfcom3c 8171.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1
infxpenc.2
infxpenc.3
infxpenc.4
infxpenc.5
infxpenc.6
infxpenc.k
infxpenc.h
infxpenc.l
infxpenc.x
infxpenc.y
infxpenc.j
infxpenc.z
infxpenc.t
infxpenc.g
Assertion
Ref Expression
infxpenc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,N,   ,,   ,,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4
2 f1ocnv 5833 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8
5 f1oi 5856 . . . . . . . . 9
65a1i 11 . . . . . . . 8
7 omelon 8084 . . . . . . . . . . 11
87a1i 11 . . . . . . . . . 10
9 2on 7157 . . . . . . . . . 10
10 oecl 7206 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . . 9
129a1i 11 . . . . . . . . . 10
13 peano1 6719 . . . . . . . . . . 11
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10
15 oen0 7254 . . . . . . . . . 10
168, 12, 14, 15syl21anc 1227 . . . . . . . . 9
17 ondif1 7170 . . . . . . . . 9
1811, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . 8
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9
2019eldifad 3487 . . . . . . . 8
21 infxpenc.5 . . . . . . . 8
22 infxpenc.k . . . . . . . 8
23 infxpenc.h . . . . . . . 8
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1o 8162 . . . . . . 7
25 f1oi 5856 . . . . . . . . . 10
2625a1i 11 . . . . . . . . 9
27 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11
28 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11
2927, 28omf1o 7640 . . . . . . . . . 10
3020, 9, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9
31 ondif1 7170 . . . . . . . . . . 11
327, 13, 31mpbir2an 920 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
34 omcl 7205 . . . . . . . . . 10
3520, 9, 34sylancl 662 . . . . . . . . 9
36 omcl 7205 . . . . . . . . . 10
3712, 20, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9
38 fvresi 6097 . . . . . . . . . 10
3913, 38mp1i 12 . . . . . . . . 9
40 infxpenc.l . . . . . . . . 9
41 infxpenc.j . . . . . . . . 9
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1o 8162 . . . . . . . 8
43 oeoe 7267 . . . . . . . . . 10
448, 12, 20, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
45 f1oeq3 5814 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
4742, 46mpbird 232 . . . . . . 7
48 f1oco 5843 . . . . . . 7
4924, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6
50 df-2o 7150 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11
52 1on 7156 . . . . . . . . . . . 12
53 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . 12
5420, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
5551, 54syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
56 om1 7210 . . . . . . . . . . . 12
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
5955, 58eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
6059oveq2d 6312 . . . . . . . 8
61 oeoa 7265 . . . . . . . . 9
628, 20, 20, 61syl3anc 1228 . . . . . . . 8
6360, 62eqtrd 2498 . . . . . . 7
64 f1oeq2 5813 . . . . . . 7
6563, 64syl 16 . . . . . 6
6649, 65mpbid 210 . . . . 5
67 oecl 7206 . . . . . . 7
688, 20, 67syl2anc 661 . . . . . 6
69 infxpenc.z . . . . . . 7
7069omxpenlem 7638 . . . . . 6
7168, 68, 70syl2anc 661 . . . . 5
72 f1oco 5843 . . . . 5
7366, 71, 72syl2anc 661 . . . 4
74 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
751, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7675feqmptd 5926 . . . . . . . 8
77 f1oeq1 5812 . . . . . . . 8
7876, 77syl 16 . . . . . . 7
791, 78mpbid 210 . . . . . 6
8075feqmptd 5926 . . . . . . . 8
81 f1oeq1 5812 . . . . . . . 8
8280, 81syl 16 . . . . . . 7
831, 82mpbid 210 . . . . . 6
8479, 83xpf1o 7699 . . . . 5
85 infxpenc.t . . . . . 6
86 f1oeq1 5812 . . . . . 6
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5
8884, 87sylibr 212 . . . 4
89 f1oco 5843 . . . 4
9073, 88, 89syl2anc 661 . . 3
91 f1oco 5843 . . 3
923, 90, 91syl2anc 661 . 2
93 infxpenc.g . . 3
94 f1oeq1 5812 . . 3
9593, 94ax-mp 5 . 2
9692, 95sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cid 4795   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  'ccnv 5003  |cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.`cmpt2 6298   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cmap 7439   cfsupp 7849   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  8418 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator