Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpidm2 Unicode version

Theorem infxpidm2 8415
 Description: The Cartesian product of an infinite set with itself is idempotent. This theorem provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. See also infxpidm 8958. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpidm2

Proof of Theorem infxpidm2
StepHypRef Expression
1 cardid2 8355 . . . . . 6
21ensymd 7586 . . . . 5
3 xpen 7700 . . . . 5
42, 2, 3syl2anc 661 . . . 4
6 cardon 8346 . . . 4
7 cardom 8388 . . . . 5
8 omelon 8084 . . . . . . . 8
9 onenon 8351 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7
11 carddom2 8379 . . . . . . 7
1210, 11mpan 670 . . . . . 6
1312biimpar 485 . . . . 5
147, 13syl5eqssr 3548 . . . 4
15 infxpen 8413 . . . 4
166, 14, 15sylancr 663 . . 3
17 entr 7587 . . 3
185, 16, 17syl2anc 661 . 2
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  infpwfien  8464  mappwen  8514  infcdaabs  8607  infxpdom  8612  fin67  8796  infxpidm  8958  ttac  30978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341