Theorem infpwfien 8464

Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfien

Proof of Theorem infpwfien

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpidm2 8415	. . . . . . 7
2		infn0 7802	. . . . . . . 8
3	2	adantl 466	. . . . . . 7
4		fseqen 8429	. . . . . . 7
5	1, 3, 4	syl2anc 661	. . . . . 6
6		xpdom1g 7634	. . . . . . 7
7		domentr 7594	. . . . . . 7
8	6, 1, 7	syl2anc 661	. . . . . 6
9		endomtr 7593	. . . . . 6
10	5, 8, 9	syl2anc 661	. . . . 5
11		numdom 8440	. . . . 5
12	10, 11	syldan 470	. . . 4
13		eliun 4335	. . . . . . . . 9
14		elmapi 7460	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	14	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14
16		frn 5742	. . . . . . . . . . . . . 14
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	rnex 6734	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	elpw 4018	. . . . . . . . . . . . 13
21	17, 20	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12
22		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
23		ssid 3522	. . . . . . . . . . . . . 14
24		ssnnfi 7759	. . . . . . . . . . . . . 14
25	22, 23, 24	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13
26		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . 15
27		dffn4 5806	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14
29	15, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
30		fofi 7826	. . . . . . . . . . . . 13
31	25, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
32	21, 31	elind 3687	. . . . . . . . . . 11
33	32	expr 615	. . . . . . . . . 10
34	33	rexlimdva 2949	. . . . . . . . 9
35	13, 34	syl5bi 217	. . . . . . . 8
36	35	imp 429	. . . . . . 7
37		eqid 2457	. . . . . . 7
38	36, 37	fmptd 6055	. . . . . 6
39		ffn 5736	. . . . . 6
40	38, 39	syl 16	. . . . 5
41		frn 5742	. . . . . . 7
42	38, 41	syl 16	. . . . . 6
43		inss2 3718	. . . . . . . . . . . 12
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 44	sseldi 3501	. . . . . . . . . . 11
46		isfi 7559	. . . . . . . . . . 11
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . 10
48		ensym 7584	. . . . . . . . . . . . 13
49		bren 7545	. . . . . . . . . . . . 13
50	48, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
51		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53	52	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54		inss1 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	56	elpwid 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	53, 57	fssd 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61		elmapg 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62	59, 60, 61	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63	58, 62	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65	64	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	65	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	51, 63, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	67, 13	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		f1ofo 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70	69	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
71		forn 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	72	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	68, 73	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	eximdv 1710	. . . . . . . . . . . 12
77	50, 76	syl5 32	. . . . . . . . . . 11
78	77	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . 10
79	47, 78	mpd 15	. . . . . . . . 9
80	79	ex 434	. . . . . . . 8
81		vex 3112	. . . . . . . . . 10
82	37	elrnmpt 5254	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
84		df-rex 2813	. . . . . . . . 9
85	83, 84	bitri 249	. . . . . . . 8
86	80, 85	syl6ibr 227	. . . . . . 7
87	86	ssrdv 3509	. . . . . 6
88	42, 87	eqssd 3520	. . . . 5
89		df-fo 5599	. . . . 5
90	40, 88, 89	sylanbrc 664	. . . 4
91		fodomnum 8459	. . . 4
92	12, 90, 91	sylc 60	. . 3
93		domtr 7588	. . 3
94	92, 10, 93	syl2anc 661	. 2
95		pwexg 4636	. . . . 5
96	95	adantr 465	. . . 4
97		inex1g 4595	. . . 4
98	96, 97	syl 16	. . 3
99		infpwfidom 8430	. . 3
100	98, 99	syl 16	. 2
101		sbth 7657	. 2
102	94, 100, 101	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296  com 6700  cmap 7439  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  inffien  8465  isnumbasgrplem3  31054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344