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Theorem ballotlem7

Description: R is a bijection between two subsets of ( O \ E ) : one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
Assertion ballotlem7 
|- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 10 funmpt2 
 |-  Fun R
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemrinv 
 |-  `' R = R
13 rabid 
 |-  ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemrc 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
15 14 adantr 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlem1c 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. ( I ` c ) e. c )
17 16 ex 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. ( I ` c ) e. c ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlem1ri 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. ( R ` c ) <-> ( I ` c ) e. c ) )
19 18 notbid 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. ( R ` c ) <-> -. ( I ` c ) e. c ) )
20 17 19 sylibrd 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
21 20 imp 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. 1 e. ( R ` c ) )
22 15 21 jca 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
23 13 22 sylbi 
 |-  ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
24 23 rgen 
 |-  A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) )
25 eleq2 
 |-  ( b = ( R ` c ) -> ( 1 e. b <-> 1 e. ( R ` c ) ) )
26 25 notbid 
 |-  ( b = ( R ` c ) -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
27 26 elrab 
 |-  ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
28 eleq2 
 |-  ( b = c -> ( 1 e. b <-> 1 e. c ) )
29 28 notbid 
 |-  ( b = c -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. c ) )
30 29 cbvrabv 
 |-  { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
31 30 eleq2i 
 |-  ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
32 27 31 bitr3i 
 |-  ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
33 32 ralbii 
 |-  ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
34 24 33 mpbi 
 |-  A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
35 ssrab2 
 |-  { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
36 fvex 
 |-  ( S ` c ) e. _V
37 imaexg 
 |-  ( ( S ` c ) e. _V -> ( ( S ` c ) " c ) e. _V )
38 36 37 ax-mp 
 |-  ( ( S ` c ) " c ) e. _V
39 38 10 dmmpti 
 |-  dom R = ( O \ E )
40 35 39 sseqtrri 
 |-  { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R
41 nfrab1 
 |-  F/_ c { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
42 nfrab1 
 |-  F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
43 nfmpt1 
 |-  F/_ c ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
44 10 43 nfcxfr 
 |-  F/_ c R
45 41 42 44 funimass4f 
 |-  ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
46 11 40 45 mp2an 
 |-  ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
47 34 46 mpbir 
 |-  ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
48 rabid 
 |-  ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
49 14 adantr 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
50 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemic 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( I ` c ) e. c )
51 50 ex 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> ( I ` c ) e. c ) )
52 51 18 sylibrd 
 |-  ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> 1 e. ( R ` c ) ) )
53 52 imp 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> 1 e. ( R ` c ) )
54 49 53 jca 
 |-  ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
55 48 54 sylbi 
 |-  ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
56 55 rgen 
 |-  A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) )
57 25 elrab 
 |-  ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
58 28 cbvrabv 
 |-  { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
59 58 eleq2i 
 |-  ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
60 57 59 bitr3i 
 |-  ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
61 60 ralbii 
 |-  ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
62 56 61 mpbi 
 |-  A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
63 ssrab2 
 |-  { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
64 63 39 sseqtrri 
 |-  { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R
65 42 41 44 funimass4f 
 |-  ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) )
66 11 64 65 mp2an 
 |-  ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
67 62 66 mpbir 
 |-  ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
68 11 12 47 67 40 64 rinvf1o 
 |-  ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }