Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj594.1 |
|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) ) |
2 |
|
bnj594.2 |
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
3 |
|
bnj594.3 |
|- ( ch <-> ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) |
4 |
|
bnj594.7 |
|- D = ( _om \ { (/) } ) |
5 |
|
bnj594.9 |
|- ( ph' <-> ( g ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) ) |
6 |
|
bnj594.10 |
|- ( ps' <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
7 |
|
bnj594.11 |
|- ( ch' <-> ( g Fn n /\ ph' /\ ps' ) ) |
8 |
|
bnj594.15 |
|- ( th <-> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
9 |
|
bnj594.16 |
|- ( [. k / j ]. th <-> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` k ) = ( g ` k ) ) ) |
10 |
|
bnj594.17 |
|- ( ta <-> A. k e. n ( k _E j -> [. k / j ]. th ) ) |
11 |
3
|
simp2bi |
|- ( ch -> ph ) |
12 |
11 1
|
sylib |
|- ( ch -> ( f ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) ) |
13 |
7
|
simp2bi |
|- ( ch' -> ph' ) |
14 |
13 5
|
sylib |
|- ( ch' -> ( g ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) ) |
15 |
|
eqtr3 |
|- ( ( ( f ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) /\ ( g ` (/) ) = _pred ( x , A , R ) ) -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) ) |
16 |
12 14 15
|
syl2an |
|- ( ( ch /\ ch' ) -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) ) |
17 |
16
|
3adant1 |
|- ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) ) |
18 |
|
fveq2 |
|- ( j = (/) -> ( f ` j ) = ( f ` (/) ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( j = (/) -> ( g ` j ) = ( g ` (/) ) ) |
20 |
18 19
|
eqeq12d |
|- ( j = (/) -> ( ( f ` j ) = ( g ` j ) <-> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) ) ) |
21 |
17 20
|
syl5ibr |
|- ( j = (/) -> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
22 |
21 8
|
sylibr |
|- ( j = (/) -> th ) |
23 |
22
|
a1d |
|- ( j = (/) -> ( ( j e. n /\ ta ) -> th ) ) |
24 |
|
bnj253 |
|- ( ( n e. D /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) <-> ( ( n e. D /\ n e. D ) /\ ch /\ ch' ) ) |
25 |
|
bnj252 |
|- ( ( n e. D /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) <-> ( n e. D /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) ) |
26 |
|
anidm |
|- ( ( n e. D /\ n e. D ) <-> n e. D ) |
27 |
26
|
3anbi1i |
|- ( ( ( n e. D /\ n e. D ) /\ ch /\ ch' ) <-> ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) |
28 |
24 25 27
|
3bitr3i |
|- ( ( n e. D /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) <-> ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) |
29 |
|
df-bnj17 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) <-> ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) /\ ta ) ) |
30 |
10
|
bnj1095 |
|- ( ta -> A. k ta ) |
31 |
30
|
bnj1352 |
|- ( ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) /\ ta ) -> A. k ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) /\ ta ) ) |
32 |
29 31
|
hbxfrbi |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) -> A. k ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) ) |
33 |
|
bnj170 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) <-> ( ( j e. n /\ n e. D ) /\ j =/= (/) ) ) |
34 |
4
|
bnj923 |
|- ( n e. D -> n e. _om ) |
35 |
|
elnn |
|- ( ( j e. n /\ n e. _om ) -> j e. _om ) |
36 |
34 35
|
sylan2 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D ) -> j e. _om ) |
37 |
36
|
anim1i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D ) /\ j =/= (/) ) -> ( j e. _om /\ j =/= (/) ) ) |
38 |
33 37
|
sylbi |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) -> ( j e. _om /\ j =/= (/) ) ) |
39 |
|
nnsuc |
|- ( ( j e. _om /\ j =/= (/) ) -> E. k e. _om j = suc k ) |
40 |
|
rexex |
|- ( E. k e. _om j = suc k -> E. k j = suc k ) |
41 |
38 39 40
|
3syl |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D ) -> E. k j = suc k ) |
42 |
41
|
bnj721 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) -> E. k j = suc k ) |
43 |
32 42
|
bnj596 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) -> E. k ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) ) |
44 |
|
bnj667 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) -> ( j e. n /\ n e. D /\ ta ) ) |
45 |
44
|
anim1i |
|- ( ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) -> ( ( j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) ) |
46 |
|
bnj258 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) <-> ( ( j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) ) |
47 |
45 46
|
sylibr |
|- ( ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) -> ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) ) |
48 |
|
df-bnj17 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) <-> ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ta ) ) |
49 |
|
bnj219 |
|- ( j = suc k -> k _E j ) |
50 |
49
|
3ad2ant3 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) -> k _E j ) |
51 |
50
|
adantr |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ta ) -> k _E j ) |
52 |
|
vex |
|- k e. _V |
53 |
52
|
bnj216 |
|- ( j = suc k -> k e. j ) |
54 |
|
df-3an |
|- ( ( k e. j /\ j e. n /\ n e. D ) <-> ( ( k e. j /\ j e. n ) /\ n e. D ) ) |
55 |
|
3anrot |
|- ( ( k e. j /\ j e. n /\ n e. D ) <-> ( j e. n /\ n e. D /\ k e. j ) ) |
56 |
|
ancom |
|- ( ( ( k e. j /\ j e. n ) /\ n e. D ) <-> ( n e. D /\ ( k e. j /\ j e. n ) ) ) |
57 |
54 55 56
|
3bitr3i |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ k e. j ) <-> ( n e. D /\ ( k e. j /\ j e. n ) ) ) |
58 |
|
eldifi |
|- ( n e. ( _om \ { (/) } ) -> n e. _om ) |
59 |
58 4
|
eleq2s |
|- ( n e. D -> n e. _om ) |
60 |
|
nnord |
|- ( n e. _om -> Ord n ) |
61 |
|
ordtr1 |
|- ( Ord n -> ( ( k e. j /\ j e. n ) -> k e. n ) ) |
62 |
59 60 61
|
3syl |
|- ( n e. D -> ( ( k e. j /\ j e. n ) -> k e. n ) ) |
63 |
62
|
imp |
|- ( ( n e. D /\ ( k e. j /\ j e. n ) ) -> k e. n ) |
64 |
57 63
|
sylbi |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ k e. j ) -> k e. n ) |
65 |
53 64
|
syl3an3 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) -> k e. n ) |
66 |
|
rsp |
|- ( A. k e. n ( k _E j -> [. k / j ]. th ) -> ( k e. n -> ( k _E j -> [. k / j ]. th ) ) ) |
67 |
10 66
|
sylbi |
|- ( ta -> ( k e. n -> ( k _E j -> [. k / j ]. th ) ) ) |
68 |
65 67
|
mpan9 |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ta ) -> ( k _E j -> [. k / j ]. th ) ) |
69 |
51 68
|
mpd |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ta ) -> [. k / j ]. th ) |
70 |
48 69
|
sylbi |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) -> [. k / j ]. th ) |
71 |
70
|
anim1i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( [. k / j ]. th /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) ) |
72 |
|
bnj252 |
|- ( ( [. k / j ]. th /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) <-> ( [. k / j ]. th /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) ) |
73 |
71 72
|
sylibr |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( [. k / j ]. th /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) ) |
74 |
|
bnj446 |
|- ( ( [. k / j ]. th /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) <-> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) /\ [. k / j ]. th ) ) |
75 |
|
pm3.35 |
|- ( ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) /\ ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` k ) = ( g ` k ) ) ) -> ( f ` k ) = ( g ` k ) ) |
76 |
9 75
|
sylan2b |
|- ( ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) /\ [. k / j ]. th ) -> ( f ` k ) = ( g ` k ) ) |
77 |
74 76
|
sylbi |
|- ( ( [. k / j ]. th /\ n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` k ) = ( g ` k ) ) |
78 |
|
iuneq1 |
|- ( ( f ` k ) = ( g ` k ) -> U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
79 |
73 77 78
|
3syl |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
80 |
|
bnj658 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) -> ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) ) |
81 |
3
|
simp3bi |
|- ( ch -> ps ) |
82 |
7
|
simp3bi |
|- ( ch' -> ps' ) |
83 |
81 82
|
bnj240 |
|- ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( ps /\ ps' ) ) |
84 |
80 83
|
anim12i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( ps /\ ps' ) ) ) |
85 |
|
simpl |
|- ( ( ps /\ ps' ) -> ps ) |
86 |
85
|
anim2i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( ps /\ ps' ) ) -> ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps ) ) |
87 |
|
simp3 |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) -> j = suc k ) |
88 |
87
|
anim1i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps ) -> ( j = suc k /\ ps ) ) |
89 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps ) ) -> j e. n ) |
90 |
|
df-3an |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) <-> ( ( j e. n /\ n e. D ) /\ j = suc k ) ) |
91 |
90
|
biancomi |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) <-> ( j = suc k /\ ( j e. n /\ n e. D ) ) ) |
92 |
|
elnn |
|- ( ( k e. j /\ j e. _om ) -> k e. _om ) |
93 |
53 36 92
|
syl2an |
|- ( ( j = suc k /\ ( j e. n /\ n e. D ) ) -> k e. _om ) |
94 |
91 93
|
sylbi |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) -> k e. _om ) |
95 |
2
|
bnj589 |
|- ( ps <-> A. k e. _om ( suc k e. n -> ( f ` suc k ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
96 |
95
|
bnj590 |
|- ( ( j = suc k /\ ps ) -> ( k e. _om -> ( j e. n -> ( f ` j ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) |
97 |
94 96
|
mpan9 |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps ) ) -> ( j e. n -> ( f ` j ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
98 |
89 97
|
mpd |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps ) ) -> ( f ` j ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
99 |
88 98
|
syldan |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps ) -> ( f ` j ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
100 |
84 86 99
|
3syl |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( f ` j ) = U_ y e. ( f ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
101 |
|
simpr |
|- ( ( ps /\ ps' ) -> ps' ) |
102 |
101
|
anim2i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( ps /\ ps' ) ) -> ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps' ) ) |
103 |
87
|
anim1i |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps' ) -> ( j = suc k /\ ps' ) ) |
104 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps' ) ) -> j e. n ) |
105 |
6
|
bnj589 |
|- ( ps' <-> A. k e. _om ( suc k e. n -> ( g ` suc k ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
106 |
105
|
bnj590 |
|- ( ( j = suc k /\ ps' ) -> ( k e. _om -> ( j e. n -> ( g ` j ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) |
107 |
94 106
|
mpan9 |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps' ) ) -> ( j e. n -> ( g ` j ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
108 |
104 107
|
mpd |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ( j = suc k /\ ps' ) ) -> ( g ` j ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
109 |
103 108
|
syldan |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k ) /\ ps' ) -> ( g ` j ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
110 |
84 102 109
|
3syl |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( g ` j ) = U_ y e. ( g ` k ) _pred ( y , A , R ) ) |
111 |
79 100 110
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) |
112 |
111
|
ex |
|- ( ( j e. n /\ n e. D /\ j = suc k /\ ta ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
113 |
47 112
|
syl |
|- ( ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) /\ j = suc k ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
114 |
43 113
|
bnj593 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) -> E. k ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
115 |
|
bnj258 |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ n e. D /\ ta ) <-> ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ ta ) /\ n e. D ) ) |
116 |
|
19.9v |
|- ( E. k ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) <-> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
117 |
114 115 116
|
3imtr3i |
|- ( ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ ta ) /\ n e. D ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
118 |
117
|
expimpd |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ ta ) -> ( ( n e. D /\ ( n e. D /\ ch /\ ch' ) ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
119 |
28 118
|
syl5bir |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ ta ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ ch' ) -> ( f ` j ) = ( g ` j ) ) ) |
120 |
119 8
|
sylibr |
|- ( ( j =/= (/) /\ j e. n /\ ta ) -> th ) |
121 |
120
|
3expib |
|- ( j =/= (/) -> ( ( j e. n /\ ta ) -> th ) ) |
122 |
23 121
|
pm2.61ine |
|- ( ( j e. n /\ ta ) -> th ) |