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Theorem cdlemg10

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 4-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg8.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg8.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg10.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg10 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .<_ W )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg8.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg8.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg10.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat )
11 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
12 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. T )
14 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T )
15 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
16 12 14 11 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. A )
17 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
18 12 13 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
19 8 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) e. ( Base ` K ) )
20 9 11 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) e. ( Base ` K ) )
21 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
22 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. A ) -> ( G ` Q ) e. A )
23 12 14 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` Q ) e. A )
24 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( G ` Q ) e. A ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
25 12 13 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
26 8 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) e. ( Base ` K ) )
27 9 21 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) e. ( Base ` K ) )
28 8 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
29 10 20 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
30 8 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
31 12 13 30 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
32 8 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
33 12 14 32 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
34 8 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` G ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) )
35 10 31 33 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) )
36 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
37 8 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
38 36 37 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
39 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg10a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .<_ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
40 1 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) .<_ W )
41 12 13 40 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` F ) .<_ W )
42 1 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) .<_ W )
43 12 14 42 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ W )
44 8 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` G ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ ( R ` G ) .<_ W ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) .<_ W ) )
45 10 31 33 38 44 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ ( R ` G ) .<_ W ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) .<_ W ) )
46 41 43 45 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) .<_ W )
47 8 1 10 29 35 38 39 46 lattrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ P =/= Q ) /\ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .<_ W )