Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dochsp.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
dochsp.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
3 |
|
dochsp.o |
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W ) |
4 |
|
dochsp.v |
|- V = ( Base ` U ) |
5 |
|
dochsp.n |
|- N = ( LSpan ` U ) |
6 |
|
dochsp.k |
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
7 |
|
dochsp.x |
|- ( ph -> X C_ V ) |
8 |
1 2 6
|
dvhlmod |
|- ( ph -> U e. LMod ) |
9 |
4 5
|
lspssv |
|- ( ( U e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) C_ V ) |
10 |
8 7 9
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` X ) C_ V ) |
11 |
4 5
|
lspssid |
|- ( ( U e. LMod /\ X C_ V ) -> X C_ ( N ` X ) ) |
12 |
8 7 11
|
syl2anc |
|- ( ph -> X C_ ( N ` X ) ) |
13 |
1 2 4 3
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` X ) C_ V /\ X C_ ( N ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) |
14 |
6 10 12 13
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) |
15 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
16 |
1 15 2 4 3
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
17 |
6 7 16
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
18 |
1 15 3
|
dochoc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) ) |
19 |
6 17 18
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) ) |
20 |
1 2 4 3
|
dochssv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V ) |
21 |
6 7 20
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ V ) |
22 |
1 2 4 3
|
dochssv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V ) |
23 |
6 21 22
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7
|
dochspss |
|- ( ph -> ( N ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) |
25 |
1 2 4 3
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V /\ ( N ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) ) |
26 |
6 23 24 25
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) ) |
27 |
19 26
|
eqsstrrd |
|- ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) ) |
28 |
14 27
|
eqssd |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) = ( ._|_ ` X ) ) |