Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fmul01.1 |
|- F/_ i B |
2 |
|
fmul01.2 |
|- F/ i ph |
3 |
|
fmul01.3 |
|- A = seq L ( x. , B ) |
4 |
|
fmul01.4 |
|- ( ph -> L e. ZZ ) |
5 |
|
fmul01.5 |
|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) ) |
6 |
|
fmul01.6 |
|- ( ph -> K e. ( L ... M ) ) |
7 |
|
fmul01.7 |
|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) |
8 |
|
fmul01.8 |
|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) |
9 |
|
fmul01.9 |
|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( k = L -> ( A ` k ) = ( A ` L ) ) |
11 |
10
|
breq2d |
|- ( k = L -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` L ) ) ) |
12 |
10
|
breq1d |
|- ( k = L -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` L ) <_ 1 ) ) |
13 |
11 12
|
anbi12d |
|- ( k = L -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( k = L -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) ) ) |
15 |
|
fveq2 |
|- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) ) |
16 |
15
|
breq2d |
|- ( k = j -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` j ) ) ) |
17 |
15
|
breq1d |
|- ( k = j -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` j ) <_ 1 ) ) |
18 |
16 17
|
anbi12d |
|- ( k = j -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) |
19 |
18
|
imbi2d |
|- ( k = j -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) ) |
20 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) ) |
21 |
20
|
breq2d |
|- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) |
22 |
20
|
breq1d |
|- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) |
23 |
21 22
|
anbi12d |
|- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
|- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) ) |
25 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) ) |
26 |
25
|
breq2d |
|- ( k = K -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` K ) ) ) |
27 |
25
|
breq1d |
|- ( k = K -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` K ) <_ 1 ) ) |
28 |
26 27
|
anbi12d |
|- ( k = K -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) ) |
29 |
28
|
imbi2d |
|- ( k = K -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) ) ) |
30 |
|
eluzelz |
|- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ ) |
31 |
5 30
|
syl |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
32 |
4
|
zred |
|- ( ph -> L e. RR ) |
33 |
32
|
leidd |
|- ( ph -> L <_ L ) |
34 |
|
eluz |
|- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) ) |
35 |
4 31 34
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) ) |
36 |
5 35
|
mpbid |
|- ( ph -> L <_ M ) |
37 |
4 31 4 33 36
|
elfzd |
|- ( ph -> L e. ( L ... M ) ) |
38 |
37
|
ancli |
|- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) |
39 |
|
nfv |
|- F/ i L e. ( L ... M ) |
40 |
2 39
|
nfan |
|- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) |
41 |
|
nfcv |
|- F/_ i 0 |
42 |
|
nfcv |
|- F/_ i <_ |
43 |
|
nfcv |
|- F/_ i L |
44 |
1 43
|
nffv |
|- F/_ i ( B ` L ) |
45 |
41 42 44
|
nfbr |
|- F/ i 0 <_ ( B ` L ) |
46 |
40 45
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) |
47 |
|
eleq1 |
|- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) ) |
48 |
47
|
anbi2d |
|- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) ) |
49 |
|
fveq2 |
|- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) ) |
50 |
49
|
breq2d |
|- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) ) |
51 |
48 50
|
imbi12d |
|- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) ) |
52 |
46 51 8
|
vtoclg1f |
|- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) |
53 |
37 38 52
|
sylc |
|- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) ) |
54 |
3
|
fveq1i |
|- ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) |
55 |
|
seq1 |
|- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) ) |
56 |
4 55
|
syl |
|- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) ) |
57 |
54 56
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( A ` L ) = ( B ` L ) ) |
58 |
53 57
|
breqtrrd |
|- ( ph -> 0 <_ ( A ` L ) ) |
59 |
|
nfcv |
|- F/_ i 1 |
60 |
44 42 59
|
nfbr |
|- F/ i ( B ` L ) <_ 1 |
61 |
40 60
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) |
62 |
49
|
breq1d |
|- ( i = L -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` L ) <_ 1 ) ) |
63 |
48 62
|
imbi12d |
|- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) ) ) |
64 |
61 63 9
|
vtoclg1f |
|- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) ) |
65 |
37 38 64
|
sylc |
|- ( ph -> ( B ` L ) <_ 1 ) |
66 |
57 65
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( A ` L ) <_ 1 ) |
67 |
58 66
|
jca |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) |
68 |
67
|
a1i |
|- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) ) |
69 |
|
elfzouz |
|- ( j e. ( L ..^ M ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) ) |
70 |
69
|
3ad2ant1 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) ) |
71 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ph ) |
72 |
|
elfzouz2 |
|- ( j e. ( L ..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` j ) ) |
73 |
|
fzss2 |
|- ( M e. ( ZZ>= ` j ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) ) |
74 |
72 73
|
syl |
|- ( j e. ( L ..^ M ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) ) |
75 |
74
|
3ad2ant1 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) ) |
76 |
75
|
sselda |
|- ( ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> k e. ( L ... M ) ) |
77 |
|
nfv |
|- F/ i k e. ( L ... M ) |
78 |
2 77
|
nfan |
|- F/ i ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) |
79 |
|
nfcv |
|- F/_ i k |
80 |
1 79
|
nffv |
|- F/_ i ( B ` k ) |
81 |
80
|
nfel1 |
|- F/ i ( B ` k ) e. RR |
82 |
78 81
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) |
83 |
|
eleq1 |
|- ( i = k -> ( i e. ( L ... M ) <-> k e. ( L ... M ) ) ) |
84 |
83
|
anbi2d |
|- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) ) ) |
85 |
|
fveq2 |
|- ( i = k -> ( B ` i ) = ( B ` k ) ) |
86 |
85
|
eleq1d |
|- ( i = k -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` k ) e. RR ) ) |
87 |
84 86
|
imbi12d |
|- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) ) ) |
88 |
82 87 7
|
chvarfv |
|- ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) |
89 |
71 76 88
|
syl2anc |
|- ( ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) |
90 |
|
remulcl |
|- ( ( k e. RR /\ l e. RR ) -> ( k x. l ) e. RR ) |
91 |
90
|
adantl |
|- ( ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ ( k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( k x. l ) e. RR ) |
92 |
70 89 91
|
seqcl |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. RR ) |
93 |
|
simp3 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ph ) |
94 |
|
fzofzp1 |
|- ( j e. ( L ..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) |
95 |
94
|
3ad2ant1 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) |
96 |
|
nfv |
|- F/ i ( j + 1 ) e. ( L ... M ) |
97 |
2 96
|
nfan |
|- F/ i ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) |
98 |
|
nfcv |
|- F/_ i ( j + 1 ) |
99 |
1 98
|
nffv |
|- F/_ i ( B ` ( j + 1 ) ) |
100 |
99
|
nfel1 |
|- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR |
101 |
97 100
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) |
102 |
|
eleq1 |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( i e. ( L ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) |
103 |
102
|
anbi2d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) ) |
104 |
|
fveq2 |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( B ` i ) = ( B ` ( j + 1 ) ) ) |
105 |
104
|
eleq1d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) |
106 |
103 105
|
imbi12d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) ) |
107 |
101 106 7
|
vtoclg1f |
|- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) |
108 |
107
|
anabsi7 |
|- ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) |
109 |
93 95 108
|
syl2anc |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) |
110 |
|
pm3.35 |
|- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) |
111 |
110
|
ancoms |
|- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) |
112 |
|
simpl |
|- ( ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) -> 0 <_ ( A ` j ) ) |
113 |
111 112
|
syl |
|- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) ) |
114 |
113
|
3adant1 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) ) |
115 |
3
|
fveq1i |
|- ( A ` j ) = ( seq L ( x. , B ) ` j ) |
116 |
114 115
|
breqtrdi |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) ) |
117 |
|
simp1 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( L ..^ M ) ) |
118 |
94
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( L ..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) |
119 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ j e. ( L ..^ M ) ) -> ph ) |
120 |
119 118
|
jca |
|- ( ( ph /\ j e. ( L ..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) |
121 |
41 42 99
|
nfbr |
|- F/ i 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) |
122 |
97 121
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) |
123 |
104
|
breq2d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) |
124 |
103 123
|
imbi12d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) ) |
125 |
122 124 8
|
vtoclg1f |
|- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) |
126 |
118 120 125
|
sylc |
|- ( ( ph /\ j e. ( L ..^ M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) |
127 |
93 117 126
|
syl2anc |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) |
128 |
92 109 116 127
|
mulge0d |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) |
129 |
|
seqp1 |
|- ( j e. ( ZZ>= ` L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) |
130 |
70 129
|
syl |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) |
131 |
128 130
|
breqtrrd |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) ) |
132 |
3
|
fveq1i |
|- ( A ` ( j + 1 ) ) = ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) |
133 |
131 132
|
breqtrrdi |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) ) |
134 |
92 109
|
remulcld |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) |
135 |
|
1red |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 1 e. RR ) |
136 |
93 95
|
jca |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) |
137 |
99 42 59
|
nfbr |
|- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 |
138 |
97 137
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) |
139 |
104
|
breq1d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) |
140 |
103 139
|
imbi12d |
|- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) |
141 |
138 140 9
|
vtoclg1f |
|- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) |
142 |
95 136 141
|
sylc |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) |
143 |
109 135 92 116 142
|
lemul2ad |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) ) |
144 |
92
|
recnd |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. CC ) |
145 |
144
|
mulid1d |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` j ) ) |
146 |
143 145
|
breqtrd |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) ) |
147 |
|
simp2 |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) |
148 |
110
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( A ` j ) <_ 1 ) |
149 |
93 147 148
|
syl2anc |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` j ) <_ 1 ) |
150 |
115 149
|
eqbrtrrid |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) <_ 1 ) |
151 |
134 92 135 146 150
|
letrd |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ 1 ) |
152 |
130 151
|
eqbrtrd |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) |
153 |
132 152
|
eqbrtrid |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) |
154 |
133 153
|
jca |
|- ( ( j e. ( L ..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) |
155 |
154
|
3exp |
|- ( j e. ( L ..^ M ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) ) |
156 |
14 19 24 29 68 155
|
fzind2 |
|- ( K e. ( L ... M ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) ) |
157 |
6 156
|
mpcom |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) |