Metamath Proof Explorer


Theorem fmul01

Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses fmul01.1 𝑖 𝐵
fmul01.2 𝑖 𝜑
fmul01.3 𝐴 = seq 𝐿 ( · , 𝐵 )
fmul01.4 ( 𝜑𝐿 ∈ ℤ )
fmul01.5 ( 𝜑𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) )
fmul01.6 ( 𝜑𝐾 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
fmul01.7 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ )
fmul01.8 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) )
fmul01.9 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 )
Assertion fmul01 ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ∧ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fmul01.1 𝑖 𝐵
2 fmul01.2 𝑖 𝜑
3 fmul01.3 𝐴 = seq 𝐿 ( · , 𝐵 )
4 fmul01.4 ( 𝜑𝐿 ∈ ℤ )
5 fmul01.5 ( 𝜑𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) )
6 fmul01.6 ( 𝜑𝐾 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
7 fmul01.7 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ )
8 fmul01.8 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) )
9 fmul01.9 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 )
10 fveq2 ( 𝑘 = 𝐿 → ( 𝐴𝑘 ) = ( 𝐴𝐿 ) )
11 10 breq2d ( 𝑘 = 𝐿 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) ) )
12 10 breq1d ( 𝑘 = 𝐿 → ( ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 ) )
13 11 12 anbi12d ( 𝑘 = 𝐿 → ( ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) ∧ ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 ) ) )
14 13 imbi2d ( 𝑘 = 𝐿 → ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) ∧ ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 ) ) ) )
15 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐴𝑘 ) = ( 𝐴𝑗 ) )
16 15 breq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) )
17 15 breq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) )
18 16 17 anbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) )
19 18 imbi2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ) )
20 fveq2 ( 𝑘 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝐴𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
21 20 breq2d ( 𝑘 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
22 20 breq1d ( 𝑘 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) )
23 21 22 anbi12d ( 𝑘 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) ) )
24 23 imbi2d ( 𝑘 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) ) ) )
25 fveq2 ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝐴𝑘 ) = ( 𝐴𝐾 ) )
26 25 breq2d ( 𝑘 = 𝐾 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ) )
27 25 breq1d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) )
28 26 27 anbi12d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ∧ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) ) )
29 28 imbi2d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑘 ) ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≤ 1 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ∧ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) ) ) )
30 eluzelz ( 𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
31 5 30 syl ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
32 4 zred ( 𝜑𝐿 ∈ ℝ )
33 32 leidd ( 𝜑𝐿𝐿 )
34 eluz ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) ↔ 𝐿𝑀 ) )
35 4 31 34 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) ↔ 𝐿𝑀 ) )
36 5 35 mpbid ( 𝜑𝐿𝑀 )
37 4 31 4 33 36 elfzd ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
38 37 ancli ( 𝜑 → ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
39 nfv 𝑖 𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 )
40 2 39 nfan 𝑖 ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
41 nfcv 𝑖 0
42 nfcv 𝑖
43 nfcv 𝑖 𝐿
44 1 43 nffv 𝑖 ( 𝐵𝐿 )
45 41 42 44 nfbr 𝑖 0 ≤ ( 𝐵𝐿 )
46 40 45 nfim 𝑖 ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝐿 ) )
47 eleq1 ( 𝑖 = 𝐿 → ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ 𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
48 47 anbi2d ( 𝑖 = 𝐿 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) )
49 fveq2 ( 𝑖 = 𝐿 → ( 𝐵𝑖 ) = ( 𝐵𝐿 ) )
50 49 breq2d ( 𝑖 = 𝐿 → ( 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐵𝐿 ) ) )
51 48 50 imbi12d ( 𝑖 = 𝐿 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝐿 ) ) ) )
52 46 51 8 vtoclg1f ( 𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝐿 ) ) )
53 37 38 52 sylc ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝐵𝐿 ) )
54 3 fveq1i ( 𝐴𝐿 ) = ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝐿 )
55 seq1 ( 𝐿 ∈ ℤ → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝐿 ) = ( 𝐵𝐿 ) )
56 4 55 syl ( 𝜑 → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝐿 ) = ( 𝐵𝐿 ) )
57 54 56 syl5eq ( 𝜑 → ( 𝐴𝐿 ) = ( 𝐵𝐿 ) )
58 53 57 breqtrrd ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) )
59 nfcv 𝑖 1
60 44 42 59 nfbr 𝑖 ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1
61 40 60 nfim 𝑖 ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1 )
62 49 breq1d ( 𝑖 = 𝐿 → ( ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1 ) )
63 48 62 imbi12d ( 𝑖 = 𝐿 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 ) ↔ ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1 ) ) )
64 61 63 9 vtoclg1f ( 𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( ( 𝜑𝐿 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1 ) )
65 37 38 64 sylc ( 𝜑 → ( 𝐵𝐿 ) ≤ 1 )
66 57 65 eqbrtrd ( 𝜑 → ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 )
67 58 66 jca ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) ∧ ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 ) )
68 67 a1i ( 𝑀 ∈ ( ℤ𝐿 ) → ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐿 ) ∧ ( 𝐴𝐿 ) ≤ 1 ) ) )
69 elfzouz ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( ℤ𝐿 ) )
70 69 3ad2ant1 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑗 ∈ ( ℤ𝐿 ) )
71 simpl3 ( ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑗 ) ) → 𝜑 )
72 elfzouz2 ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
73 fzss2 ( 𝑀 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( 𝐿 ... 𝑗 ) ⊆ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
74 72 73 syl ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐿 ... 𝑗 ) ⊆ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
75 74 3ad2ant1 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝐿 ... 𝑗 ) ⊆ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
76 75 sselda ( ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
77 nfv 𝑖 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 )
78 2 77 nfan 𝑖 ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
79 nfcv 𝑖 𝑘
80 1 79 nffv 𝑖 ( 𝐵𝑘 )
81 80 nfel1 𝑖 ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ
82 78 81 nfim 𝑖 ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ )
83 eleq1 ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
84 83 anbi2d ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) )
85 fveq2 ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝐵𝑖 ) = ( 𝐵𝑘 ) )
86 85 eleq1d ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ ) )
87 84 86 imbi12d ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ ) ) )
88 82 87 7 chvarfv ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ )
89 71 76 88 syl2anc ( ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐿 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ )
90 remulcl ( ( 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ ) → ( 𝑘 · 𝑙 ) ∈ ℝ )
91 90 adantl ( ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑘 · 𝑙 ) ∈ ℝ )
92 70 89 91 seqcl ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
93 simp3 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝜑 )
94 fzofzp1 ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
95 94 3ad2ant1 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
96 nfv 𝑖 ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 )
97 2 96 nfan 𝑖 ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
98 nfcv 𝑖 ( 𝑗 + 1 )
99 1 98 nffv 𝑖 ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) )
100 99 nfel1 𝑖 ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ
101 97 100 nfim 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
102 eleq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
103 102 anbi2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) )
104 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝐵𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
105 104 eleq1d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ ) )
106 103 105 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ ) ) )
107 101 106 7 vtoclg1f ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ ) )
108 107 anabsi7 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
109 93 95 108 syl2anc ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
110 pm3.35 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) )
111 110 ancoms ( ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) )
112 simpl ( ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) → 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
113 111 112 syl ( ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
114 113 3adant1 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
115 3 fveq1i ( 𝐴𝑗 ) = ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 )
116 114 115 breqtrdi ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) )
117 simp1 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) )
118 94 adantl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) )
119 simpl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
120 119 118 jca ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
121 41 42 99 nfbr 𝑖 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) )
122 97 121 nfim 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
123 104 breq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) ↔ 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
124 103 123 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
125 122 124 8 vtoclg1f ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
126 118 120 125 sylc ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
127 93 117 126 syl2anc ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
128 92 109 116 127 mulge0d ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
129 seqp1 ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
130 70 129 syl ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
131 128 130 breqtrrd ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
132 3 fveq1i ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝑗 + 1 ) )
133 131 132 breqtrrdi ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
134 92 109 remulcld ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
135 1red ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → 1 ∈ ℝ )
136 93 95 jca ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) )
137 99 42 59 nfbr 𝑖 ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1
138 97 137 nfim 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 )
139 104 breq1d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) )
140 103 139 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ≤ 1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) ) )
141 138 140 9 vtoclg1f ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) )
142 95 136 141 sylc ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 )
143 109 135 92 116 142 lemul2ad ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ≤ ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · 1 ) )
144 92 recnd ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
145 144 mulid1d ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · 1 ) = ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) )
146 143 145 breqtrd ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ≤ ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) )
147 simp2 ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) )
148 110 simprd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ) → ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 )
149 93 147 148 syl2anc ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 )
150 115 149 eqbrtrrid ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) ≤ 1 )
151 134 92 135 146 150 letrd ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ≤ 1 )
152 130 151 eqbrtrd ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 )
153 132 152 eqbrtrid ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 )
154 133 153 jca ( ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) )
155 154 3exp ( 𝑗 ∈ ( 𝐿 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝑗 ) ∧ ( 𝐴𝑗 ) ≤ 1 ) ) → ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ 1 ) ) ) )
156 14 19 24 29 68 155 fzind2 ( 𝐾 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ∧ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) ) )
157 6 156 mpcom ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐴𝐾 ) ∧ ( 𝐴𝐾 ) ≤ 1 ) )