Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ftalem.1 |
|- A = ( coeff ` F ) |
2 |
|
ftalem.2 |
|- N = ( deg ` F ) |
3 |
|
ftalem.3 |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` S ) ) |
4 |
|
ftalem.4 |
|- ( ph -> N e. NN ) |
5 |
|
ftalem1.5 |
|- ( ph -> E e. RR+ ) |
6 |
|
ftalem1.6 |
|- T = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) |
7 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) |
8 |
1
|
coef3 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC ) |
9 |
3 8
|
syl |
|- ( ph -> A : NN0 --> CC ) |
10 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 ) |
11 |
|
ffvelrn |
|- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC ) |
12 |
9 10 11
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC ) |
13 |
12
|
abscld |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR ) |
14 |
7 13
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR ) |
15 |
14 5
|
rerpdivcld |
|- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) e. RR ) |
16 |
6 15
|
eqeltrid |
|- ( ph -> T e. RR ) |
17 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
18 |
|
ifcl |
|- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
|- ( ph -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR ) |
20 |
|
fzfid |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) |
21 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> A : NN0 --> CC ) |
22 |
21 11
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC ) |
23 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> x e. CC ) |
24 |
|
expcl |
|- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC ) |
25 |
23 24
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC ) |
26 |
22 25
|
mulcld |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC ) |
27 |
10 26
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC ) |
28 |
20 27
|
fsumcl |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC ) |
29 |
4
|
nnnn0d |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. NN0 ) |
31 |
21 30
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( A ` N ) e. CC ) |
32 |
23 30
|
expcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( x ^ N ) e. CC ) |
33 |
31 32
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) e. CC ) |
34 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> F e. ( Poly ` S ) ) |
35 |
1 2
|
coeid2 |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ x e. CC ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) |
36 |
34 23 35
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) |
37 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
38 |
30 37
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
39 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 ) |
40 |
39 26
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC ) |
41 |
|
fveq2 |
|- ( k = N -> ( A ` k ) = ( A ` N ) ) |
42 |
|
oveq2 |
|- ( k = N -> ( x ^ k ) = ( x ^ N ) ) |
43 |
41 42
|
oveq12d |
|- ( k = N -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) |
44 |
38 40 43
|
fsumm1 |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) |
45 |
36 44
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( F ` x ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) |
46 |
28 33 45
|
mvrraddd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) |
47 |
46
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) |
48 |
28
|
abscld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR ) |
49 |
27
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR ) |
50 |
20 49
|
fsumrecl |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR ) |
51 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. RR+ ) |
52 |
51
|
rpred |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. RR ) |
53 |
23
|
abscld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR ) |
54 |
53 30
|
reexpcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) e. RR ) |
55 |
52 54
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) e. RR ) |
56 |
20 27
|
fsumabs |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) |
57 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR ) |
58 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. NN ) |
59 |
|
nnm1nn0 |
|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 ) |
60 |
58 59
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 ) |
61 |
53 60
|
reexpcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR ) |
62 |
57 61
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR ) |
63 |
13
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR ) |
64 |
61
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR ) |
65 |
63 64
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR ) |
66 |
22 25
|
absmuld |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) ) |
67 |
10 66
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) ) |
68 |
10 25
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( x ^ k ) e. CC ) |
69 |
68
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) e. RR ) |
70 |
10 22
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC ) |
71 |
70
|
absge0d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ` k ) ) ) |
72 |
|
absexp |
|- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) = ( ( abs ` x ) ^ k ) ) |
73 |
23 10 72
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) = ( ( abs ` x ) ^ k ) ) |
74 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR ) |
75 |
17
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 e. RR ) |
76 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR ) |
77 |
|
max1 |
|- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
78 |
17 16 77
|
sylancr |
|- ( ph -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
79 |
78
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
80 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) |
81 |
75 76 53 79 80
|
lelttrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 < ( abs ` x ) ) |
82 |
75 53 81
|
ltled |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` x ) ) |
83 |
82
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` x ) ) |
84 |
|
elfzuz3 |
|- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) ) |
85 |
84
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) ) |
86 |
74 83 85
|
leexp2ad |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ k ) <_ ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) |
87 |
73 86
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) <_ ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) |
88 |
69 64 63 71 87
|
lemul2ad |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
89 |
67 88
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
90 |
20 49 65 89
|
fsumle |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
91 |
61
|
recnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC ) |
92 |
63
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. CC ) |
93 |
20 91 92
|
fsummulc1 |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
94 |
90 93
|
breqtrrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
95 |
16
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T e. RR ) |
96 |
|
max2 |
|- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
97 |
17 16 96
|
sylancr |
|- ( ph -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
98 |
97
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) ) |
99 |
95 76 53 98 80
|
lelttrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T < ( abs ` x ) ) |
100 |
6 99
|
eqbrtrrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) < ( abs ` x ) ) |
101 |
57 53 51
|
ltdivmuld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) < ( abs ` x ) <-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) ) |
103 |
52 53
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( abs ` x ) ) e. RR ) |
104 |
60
|
nn0zd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ ) |
105 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 e. RR ) |
106 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
107 |
106
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < 1 ) |
108 |
105 75 53 107 81
|
lttrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < ( abs ` x ) ) |
109 |
|
expgt0 |
|- ( ( ( abs ` x ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( abs ` x ) ) -> 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) |
110 |
53 104 108 109
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) |
111 |
|
ltmul1 |
|- ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR /\ ( E x. ( abs ` x ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) <-> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
112 |
57 103 61 110 111
|
syl112anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) <-> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
113 |
102 112
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
114 |
53
|
recnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC ) |
115 |
|
expm1t |
|- ( ( ( abs ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) ) |
116 |
114 58 115
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) ) |
117 |
91 114
|
mulcomd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
118 |
116 117
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
119 |
118
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) = ( E x. ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
120 |
52
|
recnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. CC ) |
121 |
120 114 91
|
mulassd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( E x. ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
122 |
119 121
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) = ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) |
123 |
113 122
|
breqtrrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) |
124 |
50 62 55 94 123
|
lelttrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) |
125 |
48 50 55 56 124
|
lelttrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) |
126 |
47 125
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) |
127 |
126
|
expr |
|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) |
128 |
127
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. CC ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) |
129 |
|
breq1 |
|- ( r = if ( 1 <_ T , T , 1 ) -> ( r < ( abs ` x ) <-> if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) |
130 |
129
|
rspceaimv |
|- ( ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR /\ A. x e. CC ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) |
131 |
19 128 130
|
syl2anc |
|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) |