Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ftalem.1 |
⊢ 𝐴 = ( coeff ‘ 𝐹 ) |
2 |
|
ftalem.2 |
⊢ 𝑁 = ( deg ‘ 𝐹 ) |
3 |
|
ftalem.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) |
4 |
|
ftalem.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
5 |
|
ftalem1.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
6 |
|
ftalem1.6 |
⊢ 𝑇 = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) / 𝐸 ) |
7 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) |
8 |
1
|
coef3 |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
9 |
3 8
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
10 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
11 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
12 |
9 10 11
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
13 |
12
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
7 13
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
15 |
14 5
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) / 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
16 |
6 15
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
17 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
18 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ∈ ℝ ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) |
21 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
22 |
21 11
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
23 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
24 |
|
expcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
25 |
23 24
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
26 |
22 25
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
10 26
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
20 27
|
fsumcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
29 |
4
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
31 |
21 30
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
32 |
23 30
|
expcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
33 |
31 32
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) |
35 |
1 2
|
coeid2 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
36 |
34 23 35
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
37 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
38 |
30 37
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
39 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
40 |
39 26
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
41 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) |
42 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) = ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) |
43 |
41 42
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
44 |
38 40 43
|
fsumm1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
45 |
36 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
46 |
28 33 45
|
mvrraddd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
47 |
46
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) = ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
48 |
28
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
27
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
50 |
20 49
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
51 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
52 |
51
|
rpred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
53 |
23
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
54 |
53 30
|
reexpcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
55 |
52 54
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
56 |
20 27
|
fsumabs |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
57 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
58 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
59 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
60 |
58 59
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
61 |
53 60
|
reexpcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
62 |
57 61
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
63 |
13
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
65 |
63 64
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
66 |
22 25
|
absmuld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
67 |
10 66
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
68 |
10 25
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
69 |
68
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
70 |
10 22
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
71 |
70
|
absge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) |
72 |
|
absexp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑘 ) ) |
73 |
23 10 72
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑘 ) ) |
74 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
75 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
76 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ∈ ℝ ) |
77 |
|
max1 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → 1 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
78 |
17 16 77
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
79 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
80 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
81 |
75 76 53 79 80
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
82 |
75 53 81
|
ltled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
83 |
82
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
84 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) ) |
85 |
84
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) ) |
86 |
74 83 85
|
leexp2ad |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑘 ) ≤ ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
87 |
73 86
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ≤ ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
88 |
69 64 63 71 87
|
lemul2ad |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
89 |
67 88
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
90 |
20 49 65 89
|
fsumle |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
91 |
61
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
92 |
63
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
93 |
20 91 92
|
fsummulc1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
94 |
90 93
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
95 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
96 |
|
max2 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → 𝑇 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
97 |
17 16 96
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
98 |
97
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 ≤ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ) |
99 |
95 76 53 98 80
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
100 |
6 99
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) / 𝐸 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
101 |
57 53 51
|
ltdivmuld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) / 𝐸 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) < ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) < ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
103 |
52 53
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
104 |
60
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
105 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
106 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
107 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 < 1 ) |
108 |
105 75 53 107 81
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
109 |
|
expgt0 |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → 0 < ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
110 |
53 104 108 109
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 < ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
111 |
|
ltmul1 |
⊢ ( ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) < ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) < ( ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ) |
112 |
57 103 61 110 111
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) < ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) < ( ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ) |
113 |
102 112
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) < ( ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
114 |
53
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
115 |
|
expm1t |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
116 |
114 58 115
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
117 |
91 114
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
118 |
116 117
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
119 |
118
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ) |
120 |
52
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℂ ) |
121 |
120 114 91
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) = ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ) |
122 |
119 121
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( 𝐸 · ( abs ‘ 𝑥 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
123 |
113 122
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
124 |
50 62 55 94 123
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
125 |
48 50 55 56 124
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
126 |
47 125
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
127 |
126
|
expr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
128 |
127
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
129 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑟 = if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) → ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
130 |
129
|
rspceaimv |
⊢ ( ( if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( if ( 1 ≤ 𝑇 , 𝑇 , 1 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
131 |
19 128 130
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( 𝐸 · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |