Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ftalem.1 |
⊢ 𝐴 = ( coeff ‘ 𝐹 ) |
2 |
|
ftalem.2 |
⊢ 𝑁 = ( deg ‘ 𝐹 ) |
3 |
|
ftalem.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) |
4 |
|
ftalem.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
5 |
|
ftalem2.5 |
⊢ 𝑈 = if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) |
6 |
|
ftalem2.6 |
⊢ 𝑇 = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) |
7 |
1
|
coef3 |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
8 |
3 7
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
9 |
4
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
10 |
8 9
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
11 |
4
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ≠ 0 ) |
12 |
2 1
|
dgreq0 |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( 𝐹 = 0𝑝 ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) = 0 ) ) |
13 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐹 = 0𝑝 → ( deg ‘ 𝐹 ) = ( deg ‘ 0𝑝 ) ) |
14 |
|
dgr0 |
⊢ ( deg ‘ 0𝑝 ) = 0 |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐹 = 0𝑝 → ( deg ‘ 𝐹 ) = 0 ) |
16 |
2 15
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = 0 ) |
17 |
12 16
|
syl6bir |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) = 0 → 𝑁 = 0 ) ) |
18 |
3 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) = 0 → 𝑁 = 0 ) ) |
19 |
18
|
necon3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ≠ 0 → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) |
20 |
11 19
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
21 |
10 20
|
absrpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
22 |
21
|
rphalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
23 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) |
24 |
23
|
cbvsumv |
⊢ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) |
25 |
24
|
oveq1i |
⊢ ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) |
26 |
1 2 3 4 22 25
|
ftalem1 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑠 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
27 |
|
plyf |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐹 : ℂ ⟶ ℂ ) |
28 |
3 27
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℂ ⟶ ℂ ) |
29 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
30 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝐹 : ℂ ⟶ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 0 ) ∈ ℂ ) |
31 |
28 29 30
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 0 ) ∈ ℂ ) |
32 |
31
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
32 22
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
34 |
6 33
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
37 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
38 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ∈ ℝ ) |
39 |
36 37 38
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ∈ ℝ ) |
40 |
35 39
|
ifcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
5 40
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑈 ∈ ℝ ) |
42 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 0 ∈ ℝ ) |
43 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
44 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 0 < 1 ) |
46 |
|
max1 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ≤ if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) |
47 |
37 36 46
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ≤ if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) |
48 |
|
max1 |
⊢ ( ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) ) |
49 |
39 35 48
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) ) |
50 |
49 5
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑈 ) |
51 |
43 39 41 47 50
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ≤ 𝑈 ) |
52 |
42 43 41 45 51
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 0 < 𝑈 ) |
53 |
41 52
|
elrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑈 ∈ ℝ+ ) |
54 |
|
max2 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ≤ if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) |
55 |
37 36 54
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ≤ if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) |
56 |
36 39 41 55 50
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ≤ 𝑈 ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → 𝑠 ≤ 𝑈 ) |
58 |
|
abscl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
59 |
|
lelttr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
60 |
36 41 58 59
|
syl2an3an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑠 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
61 |
57 60
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
62 |
61
|
imim1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
63 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝐹 : ℂ ⟶ ℂ ) |
64 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
65 |
63 64
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
66 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
67 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
68 |
64 67
|
expcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
69 |
66 68
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
70 |
65 69
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ ) |
71 |
70
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
72 |
69
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
73 |
72
|
rehalfcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
74 |
71 73 72
|
ltsub2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) ) |
75 |
66 68
|
absmuld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
76 |
64 67
|
absexpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) |
77 |
76
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
78 |
75 77
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
79 |
78
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) / 2 ) ) |
80 |
66
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
81 |
80
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
82 |
58
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
83 |
82 67
|
reexpcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
84 |
83
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
85 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
86 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
87 |
86
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 2 ≠ 0 ) |
88 |
81 84 85 87
|
div23d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) / 2 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
89 |
79 88
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
90 |
89
|
breq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
91 |
72
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ ) |
92 |
91
|
2halvesd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) + ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
93 |
92
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) + ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) ) |
94 |
73
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
95 |
94 94
|
pncand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) + ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) |
96 |
93 95
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) |
97 |
96
|
breq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) ) |
98 |
74 90 97
|
3bitr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) ) |
99 |
69 65
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
100 |
69 99
|
abs2difd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
101 |
69 65
|
abssubd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
102 |
101
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
103 |
69 65
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
104 |
103
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
105 |
100 102 104
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
106 |
72 71
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
107 |
65
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
108 |
|
ltletr |
⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
109 |
73 106 107 108
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
110 |
105 109
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
111 |
98 110
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
112 |
32
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ) |
113 |
22
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
114 |
113
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
115 |
114 82
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
116 |
89 73
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
117 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
118 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑈 ∈ ℝ ) |
119 |
|
max2 |
⊢ ( ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → 𝑇 ≤ if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) ) |
120 |
39 35 119
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ≤ if ( if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ≤ 𝑇 , 𝑇 , if ( 1 ≤ 𝑠 , 𝑠 , 1 ) ) ) |
121 |
120 5
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ≤ 𝑈 ) |
122 |
121
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 ≤ 𝑈 ) |
123 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
124 |
117 118 82 122 123
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑇 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
125 |
6 124
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
126 |
112 82 113
|
ltdivmuld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) / ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
127 |
125 126
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
128 |
82
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
129 |
128
|
exp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 1 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
130 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
131 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ≤ 𝑈 ) |
132 |
130 118 82 131 123
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
133 |
130 82 132
|
ltled |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
134 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
135 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
136 |
134 135
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
137 |
82 133 136
|
leexp2ad |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 1 ) ≤ ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) |
138 |
129 137
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) |
139 |
82 83 113
|
lemul2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
140 |
138 139
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
141 |
112 115 116 127 140
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
142 |
141 89
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ) |
143 |
|
lttr |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
144 |
112 73 107 143
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) ∧ ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
145 |
142 144
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) / 2 ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
146 |
111 145
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
147 |
146
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
148 |
147
|
a2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
149 |
62 148
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
150 |
149
|
ralimdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
151 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑈 → ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
152 |
151
|
rspceaimv |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑈 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
153 |
53 150 152
|
syl6an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
154 |
153
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑠 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑠 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) < ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ) / 2 ) · ( ( abs ‘ 𝑥 ) ↑ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
155 |
26 154
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑟 < ( abs ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 0 ) ) < ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |