Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsumabs.1 |
|- ( ph -> A e. Fin ) |
2 |
|
fsumabs.2 |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) |
3 |
|
ssid |
|- A C_ A |
4 |
|
sseq1 |
|- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
5 |
|
sumeq1 |
|- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B ) |
6 |
5
|
fveq2d |
|- ( w = (/) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. (/) B ) ) |
7 |
|
sumeq1 |
|- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) |
8 |
6 7
|
breq12d |
|- ( w = (/) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) |
9 |
4 8
|
imbi12d |
|- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) |
10 |
9
|
imbi2d |
|- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) ) |
11 |
|
sseq1 |
|- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) ) |
12 |
|
sumeq1 |
|- ( w = x -> sum_ k e. w B = sum_ k e. x B ) |
13 |
12
|
fveq2d |
|- ( w = x -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. x B ) ) |
14 |
|
sumeq1 |
|- ( w = x -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. x ( abs ` B ) ) |
15 |
13 14
|
breq12d |
|- ( w = x -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) |
16 |
11 15
|
imbi12d |
|- ( w = x -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) |
17 |
16
|
imbi2d |
|- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) ) |
18 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) ) |
19 |
|
sumeq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) |
20 |
19
|
fveq2d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) ) |
21 |
|
sumeq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) |
22 |
20 21
|
breq12d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
23 |
18 22
|
imbi12d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) ) |
25 |
|
sseq1 |
|- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) ) |
26 |
|
sumeq1 |
|- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B ) |
27 |
26
|
fveq2d |
|- ( w = A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. A B ) ) |
28 |
|
sumeq1 |
|- ( w = A -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. A ( abs ` B ) ) |
29 |
27 28
|
breq12d |
|- ( w = A -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) |
30 |
25 29
|
imbi12d |
|- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) |
31 |
30
|
imbi2d |
|- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) ) |
32 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
33 |
|
sum0 |
|- sum_ k e. (/) B = 0 |
34 |
33
|
fveq2i |
|- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = ( abs ` 0 ) |
35 |
|
abs0 |
|- ( abs ` 0 ) = 0 |
36 |
34 35
|
eqtri |
|- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = 0 |
37 |
|
sum0 |
|- sum_ k e. (/) ( abs ` B ) = 0 |
38 |
32 36 37
|
3brtr4i |
|- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) |
39 |
38
|
2a1i |
|- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) |
40 |
|
ssun1 |
|- x C_ ( x u. { y } ) |
41 |
|
sstr |
|- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A ) |
42 |
40 41
|
mpan |
|- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A ) |
43 |
42
|
imim1i |
|- ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) |
44 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph ) |
45 |
44 1
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin ) |
46 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A ) |
47 |
46
|
unssad |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A ) |
48 |
45 47
|
ssfid |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin ) |
49 |
47
|
sselda |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> k e. A ) |
50 |
44 49 2
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> B e. CC ) |
51 |
48 50
|
fsumcl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x B e. CC ) |
52 |
51
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. x B ) e. RR ) |
53 |
50
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
54 |
48 53
|
fsumrecl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x ( abs ` B ) e. RR ) |
55 |
46
|
unssbd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A ) |
56 |
|
vex |
|- y e. _V |
57 |
56
|
snss |
|- ( y e. A <-> { y } C_ A ) |
58 |
55 57
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A ) |
59 |
2
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A B e. CC ) |
60 |
44 59
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC ) |
61 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ y / k ]_ B |
62 |
61
|
nfel1 |
|- F/ k [_ y / k ]_ B e. CC |
63 |
|
csbeq1a |
|- ( k = y -> B = [_ y / k ]_ B ) |
64 |
63
|
eleq1d |
|- ( k = y -> ( B e. CC <-> [_ y / k ]_ B e. CC ) ) |
65 |
62 64
|
rspc |
|- ( y e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ y / k ]_ B e. CC ) ) |
66 |
58 60 65
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC ) |
67 |
66
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR ) |
68 |
52 54 67
|
leadd1d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) ) |
69 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x ) |
70 |
|
disjsn |
|- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x ) |
71 |
69 70
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) ) |
72 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) ) |
73 |
45 46
|
ssfid |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin ) |
74 |
46
|
sselda |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> k e. A ) |
75 |
44 74 2
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> B e. CC ) |
76 |
75
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
77 |
76
|
recnd |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. CC ) |
78 |
71 72 73 77
|
fsumsplit |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) ) |
79 |
|
csbfv2g |
|- ( y e. _V -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) |
80 |
79
|
elv |
|- [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) |
81 |
67
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. CC ) |
82 |
80 81
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) |
83 |
|
sumsns |
|- ( ( y e. _V /\ [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) ) |
84 |
56 82 83
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) ) |
85 |
84 80
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) |
86 |
85
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) |
87 |
78 86
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) |
88 |
87
|
breq2d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) ) |
89 |
68 88
|
bitr4d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
90 |
71 72 73 75
|
fsumsplit |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) ) |
91 |
|
sumsns |
|- ( ( y e. A /\ [_ y / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B ) |
92 |
58 66 91
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B ) |
93 |
92
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) |
94 |
90 93
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) |
95 |
94
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) = ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) ) |
96 |
51 66
|
abstrid |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) |
97 |
95 96
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) |
98 |
73 75
|
fsumcl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B e. CC ) |
99 |
98
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR ) |
100 |
52 67
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR ) |
101 |
73 76
|
fsumrecl |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) |
102 |
|
letr |
|- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
103 |
99 100 101 102
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
104 |
97 103
|
mpand |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
105 |
89 104
|
sylbid |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) |
106 |
105
|
ex |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) |
107 |
106
|
a2d |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) |
108 |
43 107
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) |
109 |
108
|
expcom |
|- ( -. y e. x -> ( ph -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) ) |
110 |
109
|
a2d |
|- ( -. y e. x -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) ) |
112 |
10 17 24 31 39 111
|
findcard2s |
|- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) |
113 |
1 112
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mpcom |
|- ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) |
114 |
3 113
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mpi |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) |