Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r111 |
|- R1 : On -1-1-> _V |
2 |
|
omsson |
|- _om C_ On |
3 |
|
f1ores |
|- ( ( R1 : On -1-1-> _V /\ _om C_ On ) -> ( R1 |` _om ) : _om -1-1-onto-> ( R1 " _om ) ) |
4 |
1 2 3
|
mp2an |
|- ( R1 |` _om ) : _om -1-1-onto-> ( R1 " _om ) |
5 |
|
f1of1 |
|- ( ( R1 |` _om ) : _om -1-1-onto-> ( R1 " _om ) -> ( R1 |` _om ) : _om -1-1-> ( R1 " _om ) ) |
6 |
4 5
|
ax-mp |
|- ( R1 |` _om ) : _om -1-1-> ( R1 " _om ) |
7 |
|
r1fnon |
|- R1 Fn On |
8 |
|
fvelimab |
|- ( ( R1 Fn On /\ _om C_ On ) -> ( w e. ( R1 " _om ) <-> E. x e. _om ( R1 ` x ) = w ) ) |
9 |
7 2 8
|
mp2an |
|- ( w e. ( R1 " _om ) <-> E. x e. _om ( R1 ` x ) = w ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` (/) ) ) |
11 |
10
|
eleq1d |
|- ( x = (/) -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` (/) ) e. y ) ) |
12 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` w ) ) |
13 |
12
|
eleq1d |
|- ( x = w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` w ) e. y ) ) |
14 |
|
fveq2 |
|- ( x = suc w -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc w ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( x = suc w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) |
16 |
|
r10 |
|- ( R1 ` (/) ) = (/) |
17 |
16
|
eleq1i |
|- ( ( R1 ` (/) ) e. y <-> (/) e. y ) |
18 |
17
|
biimpri |
|- ( (/) e. y -> ( R1 ` (/) ) e. y ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 ` (/) ) e. y ) |
20 |
|
pweq |
|- ( z = ( R1 ` w ) -> ~P z = ~P ( R1 ` w ) ) |
21 |
20
|
eleq1d |
|- ( z = ( R1 ` w ) -> ( ~P z e. y <-> ~P ( R1 ` w ) e. y ) ) |
22 |
21
|
rspccv |
|- ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ~P ( R1 ` w ) e. y ) ) |
23 |
|
nnon |
|- ( w e. _om -> w e. On ) |
24 |
|
r1suc |
|- ( w e. On -> ( R1 ` suc w ) = ~P ( R1 ` w ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( w e. _om -> ( R1 ` suc w ) = ~P ( R1 ` w ) ) |
26 |
25
|
eleq1d |
|- ( w e. _om -> ( ( R1 ` suc w ) e. y <-> ~P ( R1 ` w ) e. y ) ) |
27 |
26
|
biimprcd |
|- ( ~P ( R1 ` w ) e. y -> ( w e. _om -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) |
28 |
22 27
|
syl6 |
|- ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( w e. _om -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) ) |
29 |
28
|
com3r |
|- ( w e. _om -> ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) ) |
30 |
29
|
adantld |
|- ( w e. _om -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) ) |
31 |
11 13 15 19 30
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 ` x ) e. y ) ) |
32 |
|
eleq1 |
|- ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> w e. y ) ) |
33 |
32
|
biimpd |
|- ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( R1 ` x ) e. y -> w e. y ) ) |
34 |
31 33
|
syl9 |
|- ( x e. _om -> ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) ) ) |
35 |
34
|
rexlimiv |
|- ( E. x e. _om ( R1 ` x ) = w -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) ) |
36 |
9 35
|
sylbi |
|- ( w e. ( R1 " _om ) -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) ) |
37 |
36
|
com12 |
|- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( w e. ( R1 " _om ) -> w e. y ) ) |
38 |
37
|
ssrdv |
|- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 " _om ) C_ y ) |
39 |
|
vex |
|- y e. _V |
40 |
39
|
ssex |
|- ( ( R1 " _om ) C_ y -> ( R1 " _om ) e. _V ) |
41 |
38 40
|
syl |
|- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 " _om ) e. _V ) |
42 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
43 |
|
eleq1 |
|- ( x = (/) -> ( x e. y <-> (/) e. y ) ) |
44 |
43
|
anbi1d |
|- ( x = (/) -> ( ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) ) |
45 |
44
|
exbidv |
|- ( x = (/) -> ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> E. y ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) ) |
46 |
|
axgroth6 |
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) |
47 |
|
simpr |
|- ( ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) -> ~P z e. y ) |
48 |
47
|
ralimi |
|- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) -> A. z e. y ~P z e. y ) |
49 |
48
|
anim2i |
|- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) ) -> ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) |
50 |
49
|
3adant3 |
|- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) -> ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) |
51 |
46 50
|
eximii |
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) |
52 |
42 45 51
|
vtocl |
|- E. y ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) |
53 |
41 52
|
exlimiiv |
|- ( R1 " _om ) e. _V |
54 |
|
f1dmex |
|- ( ( ( R1 |` _om ) : _om -1-1-> ( R1 " _om ) /\ ( R1 " _om ) e. _V ) -> _om e. _V ) |
55 |
6 53 54
|
mp2an |
|- _om e. _V |