Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
axgroth5 |
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) |
2 |
|
biid |
|- ( x e. y <-> x e. y ) |
3 |
|
pweq |
|- ( z = v -> ~P z = ~P v ) |
4 |
3
|
sseq1d |
|- ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) ) |
5 |
4
|
cbvralvw |
|- ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y ) |
6 |
|
ssid |
|- ~P z C_ ~P z |
7 |
|
sseq2 |
|- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) ) |
8 |
7
|
rspcev |
|- ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w ) |
9 |
6 8
|
mpan2 |
|- ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w ) |
10 |
|
pweq |
|- ( v = w -> ~P v = ~P w ) |
11 |
10
|
sseq1d |
|- ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) ) |
12 |
11
|
rspccv |
|- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) ) |
13 |
|
pwss |
|- ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) ) |
14 |
|
vpwex |
|- ~P z e. _V |
15 |
|
sseq1 |
|- ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) ) |
16 |
|
eleq1 |
|- ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) ) |
17 |
15 16
|
imbi12d |
|- ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) ) |
18 |
14 17
|
spcv |
|- ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) |
19 |
13 18
|
sylbi |
|- ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) |
20 |
12 19
|
syl6 |
|- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) ) |
21 |
20
|
rexlimdv |
|- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) |
22 |
9 21
|
impbid2 |
|- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
23 |
22
|
ralbidv |
|- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
24 |
5 23
|
sylbi |
|- ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
25 |
24
|
pm5.32i |
|- ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
26 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) |
27 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
28 |
25 26 27
|
3bitr4i |
|- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) ) |
29 |
|
velpw |
|- ( z e. ~P y <-> z C_ y ) |
30 |
|
impexp |
|- ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) ) |
31 |
|
ssdomg |
|- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) ) |
32 |
31
|
elv |
|- ( z C_ y -> z ~<_ y ) |
33 |
32
|
pm4.71i |
|- ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) ) |
34 |
33
|
imbi1i |
|- ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) |
35 |
|
brsdom |
|- ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) ) |
36 |
35
|
imbi1i |
|- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) ) |
37 |
|
impexp |
|- ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) |
38 |
36 37
|
bitri |
|- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) |
39 |
38
|
imbi2i |
|- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) ) |
40 |
30 34 39
|
3bitr4ri |
|- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) |
41 |
40
|
pm5.74ri |
|- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) |
42 |
|
pm4.64 |
|- ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) |
43 |
41 42
|
bitrdi |
|- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) |
44 |
29 43
|
sylbi |
|- ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) |
45 |
44
|
ralbiia |
|- ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) |
46 |
2 28 45
|
3anbi123i |
|- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) |
47 |
46
|
exbii |
|- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) |
48 |
1 47
|
mpbir |
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) |