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Theorem gsumbagdiaglemOLD

Description: Obsolete version of gsumbagdiaglem as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses psrbag.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.s 
|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiagOLD.i 
|- ( ph -> I e. V )
gsumbagdiagOLD.f 
|- ( ph -> F e. D )
Assertion gsumbagdiaglemOLD 
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrbag.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2 psrbagconf1o.s 
 |-  S = { y e. D | y oR <_ F }
3 gsumbagdiagOLD.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
4 gsumbagdiagOLD.f 
 |-  ( ph -> F e. D )
5 simprr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } )
6 breq1 
 |-  ( x = Y -> ( x oR <_ ( F oF - X ) <-> Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
7 6 elrab 
 |-  ( Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
8 5 7 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
9 8 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. D )
10 8 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ ( F oF - X ) )
11 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> I e. V )
12 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F e. D )
13 simprl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. S )
14 breq1 
 |-  ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
15 14 2 elrab2 
 |-  ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
16 13 15 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
17 16 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. D )
18 1 psrbagfOLD 
 |-  ( ( I e. V /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
19 11 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X : I --> NN0 )
20 16 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ F )
21 1 psrbagconOLD 
 |-  ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
22 11 12 19 20 21 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
23 22 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) oR <_ F )
24 1 psrbagfOLD 
 |-  ( ( I e. V /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
25 11 9 24 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y : I --> NN0 )
26 22 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) e. D )
27 1 psrbagfOLD 
 |-  ( ( I e. V /\ ( F oF - X ) e. D ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
28 11 26 27 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
29 1 psrbagfOLD 
 |-  ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
30 11 12 29 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F : I --> NN0 )
31 nn0re 
 |-  ( u e. NN0 -> u e. RR )
32 nn0re 
 |-  ( v e. NN0 -> v e. RR )
33 nn0re 
 |-  ( w e. NN0 -> w e. RR )
34 letr 
 |-  ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ w e. RR ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
35 31 32 33 34 syl3an 
 |-  ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
36 35 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
37 11 25 28 30 36 caoftrn 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( Y oR <_ ( F oF - X ) /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) -> Y oR <_ F ) )
38 10 23 37 mp2and 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ F )
39 breq1 
 |-  ( y = Y -> ( y oR <_ F <-> Y oR <_ F ) )
40 39 2 elrab2 
 |-  ( Y e. S <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ F ) )
41 9 38 40 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. S )
42 breq1 
 |-  ( x = X -> ( x oR <_ ( F oF - Y ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
43 19 ffvelrnda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
44 25 ffvelrnda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
45 30 ffvelrnda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
46 nn0re 
 |-  ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. RR )
47 nn0re 
 |-  ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. RR )
48 nn0re 
 |-  ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. RR )
49 leaddsub2 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
50 leaddsub 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
51 49 50 bitr3d 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
52 46 47 48 51 syl3an 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 /\ ( F ` z ) e. NN0 ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
53 43 44 45 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
54 53 ralbidva 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
55 ovexd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
56 25 feqmptd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
57 30 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F Fn I )
58 19 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X Fn I )
59 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
60 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
61 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) = ( X ` z ) )
62 57 58 11 11 59 60 61 offval 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
63 11 44 55 56 62 ofrfval2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
64 ovexd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) e. _V )
65 19 feqmptd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
66 25 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y Fn I )
67 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) = ( Y ` z ) )
68 57 66 11 11 59 60 67 offval 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - Y ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
69 11 43 64 65 68 ofrfval2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X oR <_ ( F oF - Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
70 54 63 69 3bitr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
71 10 70 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ ( F oF - Y ) )
72 42 17 71 elrabd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } )
73 41 72 jca 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )