Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bren |
|- ( A ~~ B <-> E. g g : A -1-1-onto-> B ) |
2 |
|
bren |
|- ( C ~~ D <-> E. h h : C -1-1-onto-> D ) |
3 |
|
exdistrv |
|- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) ) |
4 |
|
f1osetex |
|- { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V |
5 |
4
|
a1i |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V ) |
6 |
|
f1osetex |
|- { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V |
7 |
6
|
a1i |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V ) |
8 |
|
f1oco |
|- ( ( h : C -1-1-onto-> D /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D ) |
9 |
8
|
adantll |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D ) |
10 |
|
f1ocnv |
|- ( g : A -1-1-onto-> B -> `' g : B -1-1-onto-> A ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> `' g : B -1-1-onto-> A ) |
12 |
|
f1oco |
|- ( ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D /\ `' g : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) |
13 |
9 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : A -1-1-onto-> C -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) ) |
15 |
|
vex |
|- x e. _V |
16 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = x -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> x : A -1-1-onto-> C ) ) |
17 |
15 16
|
elab |
|- ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> x : A -1-1-onto-> C ) |
18 |
|
vex |
|- h e. _V |
19 |
18 15
|
coex |
|- ( h o. x ) e. _V |
20 |
|
vex |
|- g e. _V |
21 |
20
|
cnvex |
|- `' g e. _V |
22 |
19 21
|
coex |
|- ( ( h o. x ) o. `' g ) e. _V |
23 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = ( ( h o. x ) o. `' g ) -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) ) |
24 |
22 23
|
elab |
|- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) |
25 |
14 17 24
|
3imtr4g |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } -> ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) ) |
26 |
|
f1ocnv |
|- ( h : C -1-1-onto-> D -> `' h : D -1-1-onto-> C ) |
27 |
26
|
ad2antlr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> `' h : D -1-1-onto-> C ) |
28 |
|
f1oco |
|- ( ( y : B -1-1-onto-> D /\ g : A -1-1-onto-> B ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) |
29 |
28
|
ancoms |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) |
31 |
|
f1oco |
|- ( ( `' h : D -1-1-onto-> C /\ ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) |
32 |
27 30 31
|
syl2anc |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) |
33 |
32
|
ex |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : B -1-1-onto-> D -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) ) |
34 |
|
vex |
|- y e. _V |
35 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = y -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> y : B -1-1-onto-> D ) ) |
36 |
34 35
|
elab |
|- ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> y : B -1-1-onto-> D ) |
37 |
18
|
cnvex |
|- `' h e. _V |
38 |
34 20
|
coex |
|- ( y o. g ) e. _V |
39 |
37 38
|
coex |
|- ( `' h o. ( y o. g ) ) e. _V |
40 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = ( `' h o. ( y o. g ) ) -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) ) |
41 |
39 40
|
elab |
|- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) |
42 |
33 36 41
|
3imtr4g |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } -> ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } ) ) |
43 |
17 36
|
anbi12i |
|- ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) <-> ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) |
44 |
|
coass |
|- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) |
45 |
|
f1ococnv1 |
|- ( g : A -1-1-onto-> B -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) ) |
46 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) ) |
47 |
46
|
coeq2d |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) ) |
48 |
9
|
adantrr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D ) |
49 |
|
f1of |
|- ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D -> ( h o. x ) : A --> D ) |
50 |
|
fcoi1 |
|- ( ( h o. x ) : A --> D -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) ) |
51 |
48 49 50
|
3syl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) ) |
52 |
47 51
|
eqtrd |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( h o. x ) ) |
53 |
44 52
|
eqtr2id |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) |
54 |
|
coass |
|- ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) |
55 |
|
f1ococnv2 |
|- ( h : C -1-1-onto-> D -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) ) |
56 |
55
|
ad2antlr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) ) |
57 |
56
|
coeq1d |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) ) |
58 |
30
|
adantrl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) |
59 |
|
f1of |
|- ( ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D -> ( y o. g ) : A --> D ) |
60 |
|
fcoi2 |
|- ( ( y o. g ) : A --> D -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) ) |
61 |
58 59 60
|
3syl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) ) |
62 |
57 61
|
eqtrd |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) ) |
63 |
54 62
|
eqtr3id |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) ) |
64 |
53 63
|
eqeq12d |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) ) ) |
65 |
|
eqcom |
|- ( ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) |
66 |
64 65
|
bitrdi |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) ) |
67 |
|
f1of1 |
|- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -1-1-> D ) |
68 |
67
|
ad2antlr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> h : C -1-1-> D ) |
69 |
|
f1of |
|- ( x : A -1-1-onto-> C -> x : A --> C ) |
70 |
69
|
ad2antrl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> x : A --> C ) |
71 |
32
|
adantrl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) |
72 |
|
f1of |
|- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) |
73 |
71 72
|
syl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) |
74 |
|
cocan1 |
|- ( ( h : C -1-1-> D /\ x : A --> C /\ ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) ) |
75 |
68 70 73 74
|
syl3anc |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) ) |
76 |
|
f1ofo |
|- ( g : A -1-1-onto-> B -> g : A -onto-> B ) |
77 |
76
|
ad2antrr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> g : A -onto-> B ) |
78 |
|
f1ofn |
|- ( y : B -1-1-onto-> D -> y Fn B ) |
79 |
78
|
ad2antll |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> y Fn B ) |
80 |
13
|
adantrr |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) |
81 |
|
f1ofn |
|- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) |
82 |
80 81
|
syl |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) |
83 |
|
cocan2 |
|- ( ( g : A -onto-> B /\ y Fn B /\ ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) |
84 |
77 79 82 83
|
syl3anc |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) |
85 |
66 75 84
|
3bitr3d |
|- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) |
86 |
85
|
ex |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) ) |
87 |
43 86
|
syl5bi |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) ) |
88 |
5 7 25 42 87
|
en3d |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } ) |
89 |
88
|
exlimivv |
|- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } ) |
90 |
3 89
|
sylbir |
|- ( ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } ) |
91 |
1 2 90
|
syl2anb |
|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } ) |