Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iblabsnc.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
iblabsnc.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
|
iblabsnc.m |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn ) |
4 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
5 |
2 4
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
6 |
5 1
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
7 |
6
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
8 |
7
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* ) |
9 |
6
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) ) |
10 |
|
elxrge0 |
|- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) ) |
11 |
8 9 10
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
12 |
|
0e0iccpnf |
|- 0 e. ( 0 [,] +oo ) |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) |
14 |
11 13
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
16 |
15
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) |
17 |
|
reex |
|- RR e. _V |
18 |
17
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. _V ) |
19 |
6
|
recld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR ) |
20 |
19
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC ) |
21 |
20
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR ) |
22 |
20
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) |
23 |
|
elrege0 |
|- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
25 |
|
0e0icopnf |
|- 0 e. ( 0 [,) +oo ) |
26 |
25
|
a1i |
|- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) ) |
27 |
24 26
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
29 |
6
|
imcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR ) |
30 |
29
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC ) |
31 |
30
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR ) |
32 |
30
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
33 |
|
elrege0 |
|- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
34 |
31 32 33
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
35 |
34 26
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
37 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) |
38 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) |
39 |
18 28 36 37 38
|
offval2 |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) |
40 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) ) |
41 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
42 |
40 41
|
oveq12d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
43 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
44 |
42 43
|
eqtr4d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
45 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
46 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 ) |
47 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 ) |
48 |
46 47
|
oveq12d |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
49 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 ) |
50 |
45 48 49
|
3eqtr4a |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
51 |
44 50
|
pm2.61i |
|- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) |
52 |
51
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
53 |
39 52
|
eqtr2di |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) |
54 |
53
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
55 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) |
56 |
6
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) ) |
57 |
2 56
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) |
58 |
57
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 ) |
59 |
1 2 55 58 19
|
iblabsnclem |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
60 |
59
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn ) |
61 |
28
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
62 |
59
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
63 |
36
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
64 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) |
65 |
57
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) |
66 |
1 2 64 65 29
|
iblabsnclem |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
67 |
66
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
68 |
60 61 62 63 67
|
itg2addnc |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
69 |
54 68
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
70 |
62 67
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR ) |
71 |
69 70
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
72 |
21 31
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR ) |
73 |
72
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* ) |
74 |
21 31 22 32
|
addge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
75 |
|
elxrge0 |
|- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) ) |
76 |
73 74 75
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
77 |
76 13
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
78 |
77
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
79 |
78
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) |
80 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
81 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
82 |
80 30 81
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
83 |
20 82
|
abstrid |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
84 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) ) |
85 |
84
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) ) |
86 |
6
|
replimd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
87 |
86
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
88 |
85 87
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
89 |
43
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
90 |
|
absmul |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
91 |
80 30 90
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
92 |
|
absi |
|- ( abs ` _i ) = 1 |
93 |
92
|
oveq1i |
|- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
94 |
31
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC ) |
95 |
94
|
mulid2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
96 |
93 95
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
97 |
91 96
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
98 |
97
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
99 |
89 98
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
100 |
83 88 99
|
3brtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
101 |
100
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
102 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
103 |
102
|
a1i |
|- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 ) |
104 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 ) |
105 |
103 104 49
|
3brtr4d |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
106 |
101 105
|
pm2.61d1 |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
107 |
106
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
108 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) |
109 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
110 |
18 15 78 108 109
|
ofrfval2 |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
111 |
107 110
|
mpbird |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
112 |
|
itg2le |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
113 |
16 79 111 112
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
114 |
|
itg2lecl |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
115 |
16 71 113 114
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
116 |
7 9
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
117 |
3 115 116
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 ) |