Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isnsg3.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
isnsg3.2 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
isnsg3.3 |
|- .- = ( -g ` G ) |
4 |
|
nsgsubg |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
5 |
1 2 3
|
nsgconj |
|- ( ( S e. ( NrmSGrp ` G ) /\ x e. X /\ y e. S ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) |
6 |
5
|
3expb |
|- ( ( S e. ( NrmSGrp ` G ) /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) |
7 |
6
|
ralrimivva |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) |
8 |
4 7
|
jca |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) -> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
10 |
|
subgrcl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> G e. Grp ) |
12 |
|
simprll |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> z e. X ) |
13 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
14 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
15 |
1 2 13 14
|
grplinv |
|- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) ) |
16 |
11 12 15
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) ) |
18 |
1 14
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X ) |
19 |
11 12 18
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X ) |
20 |
|
simprlr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> w e. X ) |
21 |
1 2
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) ) |
22 |
11 19 12 20 21
|
syl13anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) ) |
23 |
1 2 13
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w ) |
24 |
11 20 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w ) |
25 |
17 22 24
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w ) |
26 |
25
|
oveq1d |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
27 |
1 2 3 14 11 20 12
|
grpsubinv |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) ) |
28 |
26 27
|
eqtrd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) ) |
29 |
|
simprr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( z .+ w ) e. S ) |
30 |
|
simplr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) |
31 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) ) |
32 |
|
id |
|- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> x = ( ( invg ` G ) ` z ) ) |
33 |
31 32
|
oveq12d |
|- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
34 |
33
|
eleq1d |
|- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( ( x .+ y ) .- x ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) ) |
35 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) ) |
36 |
35
|
oveq1d |
|- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
37 |
36
|
eleq1d |
|- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) ) |
38 |
34 37
|
rspc2va |
|- ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( z .+ w ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) |
39 |
19 29 30 38
|
syl21anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) |
40 |
28 39
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .+ z ) e. S ) |
41 |
40
|
expr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) |
42 |
41
|
ralrimivva |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) |
43 |
1 2
|
isnsg2 |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) ) |
44 |
9 42 43
|
sylanbrc |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. ( NrmSGrp ` G ) ) |
45 |
8 44
|
impbii |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) ) |