Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgabsnc.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
itgabsnc.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
|
itgabsnc.m1 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn ) |
4 |
|
itgabsnc.m2 |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. MblFn ) |
5 |
1 2
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A B _d x e. CC ) |
6 |
5
|
cjcld |
|- ( ph -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC ) |
7 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
8 |
2 7
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
9 |
8 1
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
10 |
9
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A B e. CC ) |
11 |
|
nfv |
|- F/ y B e. CC |
12 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ y / x ]_ B |
13 |
12
|
nfel1 |
|- F/ x [_ y / x ]_ B e. CC |
14 |
|
csbeq1a |
|- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( B e. CC <-> [_ y / x ]_ B e. CC ) ) |
16 |
11 13 15
|
cbvralw |
|- ( A. x e. A B e. CC <-> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC ) |
17 |
10 16
|
sylib |
|- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC ) |
18 |
17
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. CC ) |
19 |
|
nfcv |
|- F/_ y B |
20 |
19 12 14
|
cbvmpt |
|- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) |
21 |
20 2
|
eqeltrrid |
|- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) e. L^1 ) |
22 |
6 18 21 4
|
iblmulc2nc |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 ) |
23 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC ) |
24 |
23 18
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. CC ) |
25 |
24
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 <-> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) ) ) |
26 |
22 25
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) ) |
27 |
26
|
simpld |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) |
28 |
23 18
|
absmuld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
29 |
28
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) ) |
30 |
8 1
|
mbfdm2 |
|- ( ph -> A e. dom vol ) |
31 |
23
|
abscld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) e. RR ) |
32 |
18
|
abscld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) e. RR ) |
33 |
|
fconstmpt |
|- ( A X. { ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) } ) = ( y e. A |-> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) ) |
34 |
33
|
a1i |
|- ( ph -> ( A X. { ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) } ) = ( y e. A |-> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) ) ) |
35 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( abs ` B ) |
36 |
|
nfcv |
|- F/_ x abs |
37 |
36 12
|
nffv |
|- F/_ x ( abs ` [_ y / x ]_ B ) |
38 |
14
|
fveq2d |
|- ( x = y -> ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) |
39 |
35 37 38
|
cbvmpt |
|- ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) = ( y e. A |-> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) |
40 |
39
|
a1i |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) = ( y e. A |-> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
41 |
30 31 32 34 40
|
offval2 |
|- ( ph -> ( ( A X. { ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) ) |
42 |
29 41
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) = ( ( A X. { ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) ) |
43 |
6
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) e. RR ) |
44 |
9
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
45 |
44
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. CC ) |
46 |
45
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) : A --> CC ) |
47 |
3 43 46
|
mbfmulc2re |
|- ( ph -> ( ( A X. { ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) e. MblFn ) |
48 |
42 47
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. MblFn ) |
49 |
24 22 48
|
iblabsnc |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) |
50 |
24
|
recld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR ) |
51 |
24
|
abscld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR ) |
52 |
24
|
releabsd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) <_ ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) |
53 |
27 49 50 51 52
|
itgle |
|- ( ph -> S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y <_ S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
54 |
5
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) |
55 |
54
|
recnd |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. CC ) |
56 |
55
|
sqvald |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) ) |
57 |
5
|
absvalsqd |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) ) |
58 |
5 6
|
mulcomd |
|- ( ph -> ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) ) |
59 |
14 19 12
|
cbvitg |
|- S. A B _d x = S. A [_ y / x ]_ B _d y |
60 |
59
|
oveq2i |
|- ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y ) |
61 |
6 18 21 4
|
itgmulc2nc |
|- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
62 |
60 61
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
63 |
57 58 62
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
64 |
63
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) ) |
65 |
54
|
resqcld |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) e. RR ) |
66 |
65
|
rered |
|- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) |
67 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. _V ) |
68 |
67 22
|
itgre |
|- ( ph -> ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
69 |
64 66 68
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
70 |
56 69
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
71 |
38 35 37
|
cbvitg |
|- S. A ( abs ` B ) _d x = S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y |
72 |
71
|
oveq2i |
|- ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
73 |
1 2 3
|
iblabsnc |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 ) |
74 |
39 73
|
eqeltrrid |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 ) |
75 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) |
76 |
|
fconstmpt |
|- ( A X. { ( abs ` S. A B _d x ) } ) = ( y e. A |-> ( abs ` S. A B _d x ) ) |
77 |
76
|
a1i |
|- ( ph -> ( A X. { ( abs ` S. A B _d x ) } ) = ( y e. A |-> ( abs ` S. A B _d x ) ) ) |
78 |
30 75 32 77 40
|
offval2 |
|- ( ph -> ( ( A X. { ( abs ` S. A B _d x ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) ) |
79 |
3 54 46
|
mbfmulc2re |
|- ( ph -> ( ( A X. { ( abs ` S. A B _d x ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) e. MblFn ) |
80 |
78 79
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) e. MblFn ) |
81 |
55 32 74 80
|
itgmulc2nc |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
82 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> S. A B _d x e. CC ) |
83 |
82
|
abscjd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) = ( abs ` S. A B _d x ) ) |
84 |
83
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
85 |
28 84
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
86 |
85
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
87 |
81 86
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
88 |
72 87
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
89 |
53 70 88
|
3brtr4d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
90 |
89
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
91 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) |
92 |
44 73
|
itgrecl |
|- ( ph -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR ) |
93 |
92
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR ) |
94 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) |
95 |
|
lemul2 |
|- ( ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ S. A ( abs ` B ) _d x e. RR /\ ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) ) |
96 |
91 93 91 94 95
|
syl112anc |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) ) |
97 |
90 96
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |
98 |
97
|
ex |
|- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
99 |
9
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) ) |
100 |
73 44 99
|
itgge0 |
|- ( ph -> 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |
101 |
|
breq1 |
|- ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
102 |
100 101
|
syl5ibcom |
|- ( ph -> ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
103 |
5
|
absge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) ) |
104 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
105 |
|
leloe |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) ) |
106 |
104 54 105
|
sylancr |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) ) |
107 |
103 106
|
mpbid |
|- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) |
108 |
98 102 107
|
mpjaod |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |